16. Понятие статистического моделирования
Статистическое моделирование — базовый метод моделирования, заключающийся в том, что модель испытывается множеством случайных сигналов с заданной плотностью вероятности. (Т. е. суть задач статистического моделирования заключается в том, что их модели и вычисления релевантны (адекватны) только при многократном повторении расчетов). Цель - статистическое определение выходных результатов. В основе статистического моделирования лежит метод Монте-Карло.
Метод Монте-Карло изучает стохастический (вероятностный) процесс. Датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 г., когда ам. ученые Н.Метрополис и С.Улам опубликовали статью «Метод Монте-Карло», в которой систематически его изложили. Название метода связано с названием города Монте-Карло, где в игорных домах (казино) играют в рулетку — одно из простейших устройств для получения случайных чисел, на использовании которых основан этот метод. Во время выздоровления после болезни, и, раскладывая пасьянсы, Улам задался вопросом, какова вероятность того, что пасьянс «сложится». Ему в голову пришла идея, что вместо того, чтобы использовать обычные для подобных задач соображения комбинаторики, можно просто поставить «эксперимент» большое число раз и, таким образом, подсчитав число удачных исходов, оценить их вероятность. Он же предложил использовать компьютеры для расчётов методом Монте-Карло.
При проведении анализа по методу Монте-Карло компьютер использует процедуру генерации псевдослучайных чисел для имитации данных из изучаемой генеральной совокупности. Процедура анализа по методу Монте-Карло строит выборки из генеральной совокупности в соответствии с указаниями пользователя, а затем производит следующие действия:
Для каждого повторения по методу Монте-Карло:
Имитирует случайную выборку из генеральной совокупности,
Проводит анализ выборки,
Сохраняет результаты.
После большого числа повторений, сохраненные результаты хорошо имитирует реальное распределение выборочной статистики. Метод Монте-Карло позволяет получить информацию о выборочном распределении в случаях, когда обычная теория выборочных распределений оказывается бессильной.
Пример из лекции: пусть идущий находится в точке (0;0) системы координат. Смоделируем его нахождение через 5 шагов методом случайных чисел.
(Выбрали абсолютно произвольные 5 чисел – т к 5 шагов: 13, 17, 69, 23, 25)
Четная цифра – значит идем от точки (0;0) в плюс; если нечетная – в минус; (Каждый новый шаг начинается из предыдущей точки)
Первая цифры – (х)
Вторая – (у)
От последней точки достраиваем прямоугольный треугольник АВС.
Расстояние, пройденное через 5 шагов вычисляем по формуле теоремы Пифагора.
D=
D=
Делаем это 10 раз. Имеем 10 корней и берем среднее.
Задача вычисления площади фигуры на плоскости
Пусть дана некоторая плоская фигура F, для которой требуется найти площадь.
Введем следующие предположения:
Для определенности предположим, что эта фигура целиком расположена внутри единичного квадрата.
С учетом предположения 1 периметр фигуры может быть устроен совершенно произвольно.
Фигура может не быть связной, т.е. может состоять из нескольких областей.
Фигура может быть задана аналитически или графически.
Рис. 1.1 Площадь фигуры на плоскости. Метод Монте-Карло
Сгенерируем в квадрате N случайных точек. Пусть N* – количество точек, попавших внутрь рассматриваемой фигуры.
Тогда при достаточно больших значениях N площадь фигуры F может быть оценена как
Конечно, в задаче вычисления площади существуют и более точные алгоритмы нахождения площади, но данный пример демонстрирует простейший случай применения метода Монте-Карло.