Первообразная ф-ции и неопределенный интеграл. Интегрирование.

Дифференцирование дает возможность для заданной функции F(x) находить ее производную F(x) или дифференциал dF = F (x)dx.

Cуществует действие, обратное дифференцирова нию,-интегрирование-нахож дение функции F(x) по известной ее производной f(x) = F(x) или дифференциалу f(x)dx. Функцию F(x) называют первообразной функции f(x), если для всех х из области определения функции F(x) = f(x) или dF(x)=f(x)dx.

Например, функция F(x) = x⁵ является первообразной функции f(x) = 5x⁴ для х   , так как при любом х (х⁵) = 5х⁴ и dx⁵=5x⁴dx.

Для функции f(x) = 5x⁴ первообразной будет любая функция Ф(х) = х⁵ + С, где С – произвольное постоянное число, так как производная постоянной равна нулю.

В общем случае, если f(x) имеет первообразную функцию F(x), совокупность F(x) + C также будет первообразной для f(x):

(F(x) + C) = F(x) = f(x).

Cовокупность первообразных F(x) + С для данной функции f(x) или данного дифференциала f(x)dx называют неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначают f(x)dx.По определению, f(x)dx = F(x) + C (читается «неопределенный

интеграл эф от икс дэ икс»).

Выражение f(x)dx называют подынтегральным выражением, функцию f(x) – подынтегральной функцией, а С-постоянной интегрирования.

Вычисление интеграла данной функции называется интегрированием этой функции.

Методы нахожде ния неопределён ных интегралов: приведение к табличному виду, метод замены переменной,(интегрирование по частям)

Непосредственное интегрирование. Способ непосред ственного интегри рования основан на использовании свойств неопределенного ин теграла и приведении подынтегрального вы ражения к табличной форме.

Пример. Вычислить (2х³ – 3x² + 2х –7)dx.

Решение. В данном примере под знаком интеграла стоит алгебраическая сумма функций. Согласно свойству 5 неопределенного интеграла.

(2х³ – 3х² +2х –7)dx = 2x³dx - 3x²dx + 2xdx - 7dx.

Последовательно применяя свойство 4 интегралов и формулы 1 и 2, получаем

(2х³ – 3х² + 2х – 7)dx = 2x³dx -3x²dx + 2xdx - 7dx=

= Интегрирование под становкой (заменой переменной).Этот способ заклю чается в пере ходе от данной переменной ин тегрирования к другой перемен ной для упроще ния подынтегра льного выраже ния и приведе ния его к одному из таб личных. В интеграле  f(x)dx сделаем под становку x = (t), где (t) – функция, имею щая непреры вную произ водную. Тогда:

f(x) = f((t)); dx = (t)dt;  f(x)dx =  f((t))(t)dt.

Пример. Вычислить  sin⁷x cos xdx. Решение. Вычислим интеграл, использо вав метод подста новки.Интегрирование по частям. Если и =и(х) и - дифференцируемые функции, то откуда Интегрируя последнее выра жение, получаем

или

Это и есть формула интегрирования по частям.Способ интегрирования по частям применяется в том случае, когда интеграл в правой части формулы более прост для вычисле ния, чем исходный.