Применение производных для исследования ф-й на экстремум.

Условие возрастания функции y = f(x) на отрезке [а, b] f'(x)>0 Условие убывания функции y=f(x) на отрезке [а, b]

f'(x)<0. Условие максимума функции y=f(x) при x= а f'(a)=0 и f'' (a)<0. Если при х=а производные f'(а) = 0 и f"(а) = 0, то необходи­мо исследовать f'(x) в окрестностях точки x = а. Функция у=f(х) при х=а имеет максимум, если при переходе через точку х= а производная f'(x) меняет знак с «+» на «-», в случае минимума — с « - » на «+» Если f'(x) не меняет знака при переходе через точку х = а, то в этой точке у функ­ции экстремума нет.

Дифференциал ф-ции, его геометрический и физический смысл. Диф ференциал функции как главная часть приращения функции. С понятием производной тесно связано понятие дифференциала функции. Пусть функция f(x) непрерывна при данных значениях х и имеет производную

f/x = f(x) + (x), откуда приращение функции f = f(x)x + (x)x, где (х)  0 при х  0. Определим порядок бесконечно малой f(x)x по отношению к бесконечно малой х.:

Следовательно, бес конечно малые f(x)x и x имеют одинаковый порядок малости, то есть f(x)x = Ox.

Определим порядок бесконечно малой (х)х по отноше нию к бесконечно малой х:

Следовательно, бесконечно малая (х)х имеет более высокий порядок малости по сравнению с бес конечно малой х, то есть (х)х = ох.

Таким образом, бесконечно малое приращение f дифференцируемой функции может быть представлено в виде двух слагаемых: бесконечно малой f(x)x одинакового порядка малости с х и бесконечно малой (х)х более высокого порядка малости по сравнению с бесконечно малой х. Это означает, что в равенстве f=f(x)x + (x)x при х 0 второе слагаемое стремится к нулю «быстрее», чем первое, то есть (х)х = оf(x)x.

Первое слагаемое f(x)x, линейное относительно х, называют диффере нциалом функции f(x) в точке х и обозначают dy или df (читается «дэ игрек» или «дэ эф»). Итак, dy = df = f(x)x.

Аналитический смысл дифферен циала заключается в том, что диффе ренциал функции есть главная часть приращения функции f, линейная относительно прира щения аргумента x. Дифференциал фун кции отличается от приращения функции на бесконечно малую более высокого порядка малости, чем x. Действительно, f=f(x)x + (x)x или f = df + (x)x.

Дифференциал аргумента dx равен его приращению x: dx=x.

Пример. Вычислить значение дифферен циала функции f(x) = x³ + 2x, когда х изменяется от 1 до 1,1.

Решение. Найдем общее выражение для дифференциала этой функции:

Подставляя значения dx=x=1,1–1= 0,1 и x = 1 в последнюю формулу, получим искомое значение дифференциала: df_x=1; = 0,5.

Полный дифферен циал ф-и многих переменных

Полным дифферен циалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у).

Для функции произвольного числа переменных:

Состояние организ ма как функция многих перемен ных. Приближен ные вычисления.

Дифференциал приме няется для вычисления абсолют ной и отно­сительной.погрешностей при косвенных измере ниях u = f(x, у, z .). Абсолютная погреш ность результата из мерения

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Относительная погре шность результата из мерения

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

Нахождение частных производных и полного дифференциала

Дифференциал неза висимой переменной равен ее приращению:

dx=Δx Дифферен циал функции y=f(x) dy = у' Δх.

Дифференциал суммы (разности) двух функций y=u±v

dy=du±dv.

Дифференциал произведения двух функций у=uv

dy = vdu-\-udv.

Дифференциал частного двух функций y=u/v

dy=(vdu-udv)/v²

Приращение функ ции

Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f'(x) • Δx

где Δx-приращение аргумента.Приближенное вычисление значения функции:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f'(x) • Δx

Для нахождения частной производ ной, например по аргументу х – df/dx, достаточно найти обыкновенную произ водную функции f(x,y), считая послед нюю функцией одного аргумента х а у постоянной для нахождения df/dу и наоборот.