5.7 Запас устойчивости

при проектировании систем автоматического управления всегда стремятся обеспечить их устойчивость так, чтобы изменение параметров в определенных пределах не могло привести к неустойчивости, т.е. всегда стремятся обеспечить их устойчивость с некоторой гарантией. Для этой цели используется понятие запаса устойчивости системы.

Запас устойчивости системы – это количественная характеристика степени удаления системы от границ устойчивости.

Наличие определенного запаса устойчивости гарантирует сохранение устойчивости системы при изменении ее параметров в определенных пределах. Чем больше запас устойчивости, тем меньше вероятность того, что система в процессе эксплуатации станет неустойчивой.

Запас устойчивости необходим еще и потому, что он определяет характер переходных процессов в системах. Наличие определенного запаса устойчивости обеспечивает работу реальной системы в области устойчивости с требуемым качеством переходного процесса.

При инженерных расчетах в качестве меры запаса устойчивости наиболее широко используют вытекающие из критерия Найквиста две величины: запас устойчивости по амплитуде (модулю) и запас устойчивости по фазе. оба эти запаса рассматриваются одновременно и определяются либо по АФХ W(јω), либо по соответствующим ей ЛЧХ L(ω), Ө(ω). В дальнейшем будем пользоваться следующими обозначениями: Н₃ и L₃ – запас устойчивости по амплитуде; Ө₃ – запас устойчивости по фазе.

Для определения запасов устойчивости введем в рассмотрение две частоты (рис.5.16):

ω_с – частота среза – частота, на которой АЧХ равна единице (или ЛАХ равна нулю), т.е.

Н(ω_с) = 1; L(ω_с) = 20lqН(ω_с) = 0

ω_π – частота, на которой фазовая характеристика равна -180⁰, т.е. Ө(ω_π) = -180⁰.

Рисунок 5.16

Под запасом устойчивости по амплитуде обычно понимается величина Н₃ в относительных единицах или величина L₃ в дБ, которая показывает, как нужно изменить коэффициент передачи системы при неизменных фазовых соотношениях, чтобы привести ее к границе устойчивости. Он определяется по формулам:

; L_з = 20lqН_з = -20 lqН(ω_π) = -L(ω_π)

где – Н(ω_π) и L(ω_π) – значение АЧХ и ЛАХ на частоте ω_π (см. рис. 5.16).

под запасом устойчивости по фазе понимается величина угла в градусах, которая показывает на сколько должен возрасти отрицательный сдвиг по фазе (запаздывание по фазе) в системе на частоте среза при неизменном значении коэффициента усиления, чтобы система оказалась на границе устойчивости. Величина Ө₃ определяется по АФХ и по ЛЧХ на основании формулы

Ө₃ = 180⁰ - | Ө(ω_с) |

где ω_с – частота среза; | Ө(ω_с) | - значение ФЧХ на частоте среза, взятое по модулю. Чем больше величина Ө₃, тем больше запас устойчивости по фазе (см. рис. 5.16).

необходимые значения запасов устойчивости зависят от типа САУ и выбираются при проектировании систем, исходя из требований, предъявляемых к качеству переходного процесса. Ориентировочно должно быть Ө₃ ≥ 30⁰, L₃ ≥ 6 дБ.