5.2 Теоремы а.М.Ляпунова об устойчивости.
Критерии устойчивости
Теоретическим обоснованием законности исследования устойчивости реальных систем по их линеаризованным уравнениям, которые представляют собой уравнения первого приближения, служат теоремы, доказанные А.М.Ляпуновым.
ТЕОРЕМА 1. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво, независимо от членов разложения выше первого порядка малости.
ТЕОРЕМА 2. Если среди корней характеристического уравнения первого приближения найдется, по меньшей мере, один корень с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение асимптотически неустойчиво, независимо от членов разложения выше первого порядка малости.
А.М.Ляпунов исследовал также критические случаи, когда среди корней характеристического уравнения первого приближения имеется один нулевой корень или одна пара чисто мнимых корней, а вещественные части всех остальных корней отрицательные. Он доказал, что в этих случаях вопрос об устойчивости движения реальной системы может быть решен лишь с учетом членов разложения второго и более высокого порядка малости, т.е. на основании дополнительных исследований по исходным нелинейным уравнениям (теорема 3). Однако, на практике часто принимают, что если линеаризованная система находится на границе устойчивости, то и исходная система тоже находится на границе устойчивости. Объясняется это тем, что САУ, которая используется на практике, должна быть не только устойчивой, но и иметь определенный запас устойчивости. иначе говоря, она должна находится на некотором расстоянии от границы устойчивости. В противном случае при незначительном изменении того или иного параметра (или совокупности параметров) система может стать неустойчивой. Поэтому узкая зона, переход которой переводит линеаризованную систему из устойчивого состояния в неустойчивое, включает в себя также границу устойчивости исходной реальной системы. Значение параметра (параметро), при котором система находится на границе устойчивости, называется критическим значением.
В теории автоматического управления для наглядности иллюстрации необходимого и достаточного условия устойчивости часто прибегают к комплексной плоскости корней и судят об устойчивости САУ по расположению корней характеристического уравнения (полюсов передаточной функции) в этой плоскости. На рис. 5.1 показан пример возможного расположения корней в виде точек на комплексной плоскости (α; jω) для системы, описываемой уравнением пятого порядка. Из рис. 5.1а следует, что для устойчивости линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости комплексной плоскости корней, т.е. чтобы все корни были левыми. Если хотя бы один корень находится справа от мнимой оси, т.е. является правым, то САУ неустойчива (рис. 5.1б). в случае если один корень располагается на мнимой оси, а остальные корни левые, то система будет находиться либо на апериодической (рис. 5.1в), либо на колебательной (рис. 5.1г) границе устойчивости. Следовательно, мнимую ось плоскости корней можно рассматривать как границу устойчивости.
Рисунок 5.1
Таким образом, естественным методом исследования устойчивости САУ является нахождение корней характеристического уравнения и определение знаков их вещественных частей. Однако такой метод не может считаться приемлемым для большинства практических задач. Это связано с математическими трудностями, возникающими при вычислении корней характеристического уравнения третьей и более высокой степени. Кроме того, найдя корни характеристического уравнения и определив, устойчива или неустойчива система, мы не сможем установить, как те или иные параметры влияют на устойчивость и, следовательно, представить себе, как нужно изменить параметры системы или ее структуру для обеспечения устойчивости. Поэтому в инженерной практике широкое применение получили косвенные методы исследования САУ на устойчивость, называемые критериями устойчивости.
Критерий устойчивости – это математически сформулированные правила, позволяющие исследовать устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения. Они подразделяются на алгебраические и частотные. К алгебраическим относятся критерии Вышнеградского, Рауса, Гурвица и др. Частотными являются критерии Михайлова и Найквиста. С математической точки зрения все критерии устойчивости эквивалентны друг другу, так как они устанавливают факт отрицательности или положительности вещественных частей корней характеристического уравнения. Целесообразность применения того или иного критерия определяется исходными данными, характером задачи исследования, а также имеющимися вычислительными средствами.
Следует заметить, что простейшим критерием является необходимое условие устойчивости: для устойчивости САУ необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительными. Этот вывод вытекает из теоремы Безу, согласно которой характеристическое уравнение можно представить в виде:
Если все корни р1, р2, … рn будут иметь отрицательные действительные части, то все коэффициенты в характеристическом уравнении будут положительными. (для вещественных корней это очевидно, для комплексных – проверьте самостоятельно).