5.5 Критерий устойчивости Найквиста

в 1932 году американским ученым Найквистом был предложен частотный критерий для исследования усилителей с отрицательной обратной связью (т.е. для замкнутых автоматических систем). этот критерий обобщил и в 1938 году впервые применил в теории автоматического регулирования А.В.Михайлов. в связи с этим этот критерий часто называют критерием Михайлова-Найквиста.

Частотный критерий Найквиста отличается тем, что он позволяет судить об устойчивости замкнутых систем по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы W(јω) (рис. 5.5)

АФХ строится по

при р = јω. Примерный вид АФХ для статистической системы представлен на рис. 5.5а, для астатической – на рис. 5.5б.

прежде чем приступить непосредственно к изучению критерия Найквиста, сделаем ряд предварительных замечаний.

1. для анализа устойчивости ЗСАУ по критерию Найквиста необходимо знать количество корней с положительной вещественной частью в характеристическом уравнении РСАУ, т.е. количество правых корней.

Рисунок 5.5

Пример 1

Характеристическое уравнение РСАУ

имеет корни , т.е. количество правых корней l = 0.

Пример 2

;

т.е. имеет один правый корень (l = 1).

Пример 3

; , т.е. l = 2.

При l = 0 в соответствии с необходимым и достаточным условием устойчивости РСАУ является устойчивой, при l ≠ 0 – неустойчивой.

2. На комплексной плоскости выделяют критическую точку с координатами [-1; ј0] (см. рис. 5.6).

Рисунок 5.6

кроме того, вводят понятие отрицательных и положительных переходов АФК через отрезок вещественной оси [-∞; -1] (рис. 5.6). Если при увеличении ω ФЧХ Ө(ω) уменьшается, то переход является отрицательным -1, (кривая 1); если же Ө(ω) увеличивается – положительным +1 (кривая 2). В случае, если АФХ начинается на отрезке [-∞; -1], то считают, что имеется половина перехода: отрицательного -½ (кривая 3) или положительного +½ (кривая 4). Переходы АФХ через отрезок вещественной оси [-1; +∞] не учитываются (кривые 5, 6, 7).

3. При оценке устойчивости астатических систем на АФХ необходимо дополнить при ω = 0 другой бесконечно большого радиуса от вещественной оси (рис. 5.7)

Правила дополнения:

а) при l четном (и l = 0) АФХ дополняется дугой от положительной вещественной полуоси;

б) при l нечетном АФХ дополняется дугой от отрицательной вещественной полуоси.

Рисунок 5.7

Перейдем к рассмотрению критерия Найквиста.

Формулировка критерия Найквиста.

Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов АФХ разомкнутой САУ через отрезок вещественной оси [-∞; -1] была равна , где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Рассмотрим применение критерия Найквиста для систем, устойчивых и неустойчивых в разомкнутом состоянии.

1. Системы, устойчивые в разомкнутом состоянии (l = 0).

Пример 1.

– система статическая (ν = 0)

Количество правых корней l = 0 ( ). Вид АФХ при различных значениях коэффициента передачи представлен на рис. 5.8.

Так как l = 0, то для устойчивости данной САУ в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов через отрезок [-∞; -1] была равна нулю.

В нашем случае:

а) для кривой 1: положительных переходов – ноль, отрицательных – ноль, разность ∆ = 0, следовательно, САУ при К = К₁ будет устойчивой;

Рисунок 5.8

б) для кривой 2: положительных переходов – ноль, отрицательных – один, разность ∆ = 0 - 1 = -1 ≠ 0, следовательно, САУ при К = К₂ будет неустойчивой;

в) при К = К_кр система находится на границе устойчивости.

Пример 2.

– система Астатическая (ν = 1)

Количество правых корней l = 0 (р₁ = 0; ). Вид АФХ с дополнительными дугами для различных значений коэффициента передачи показан на рис. 5.9 (дополнение проведено от положительной полуоси, т.к. l =0 – четное).

Анализ устойчивости данной системы аналогичен предыдущему случаю, т.е. при АФХ вида 1 – замкнутая САУ устойчива; 2 – неустойчива; 3 – находится на границе устойчивости.

Анализ рис. 5.8 и 5.9 показывает, что для САУ, устойчивых в разомкнутом состоянии (l = 0) критерий Найквиста можно сформулировать следующим образом:

Для устойчивости замкнутой САУ, устойчивой в разомкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой САУ не охватывала точку [-1; ј0].

2. Системы, неустойчивые в разомкнутом состоянии (l ≠ 0).

Рисунок 5.9

Пример 1.

– система статическая (ν = 1)

Количество правых корней l = 1 ( ).

В ид АФХ при различном соотношении постоянных времени представлен на рис. 5.10.

Рисунок 5.10

Так как l = 1, то для устойчивости данной САУ в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов через отрезок [-∞; -1] была равна = ½.

В нашем случае:

а) для кривой 1: положительных переходов ½, отрицательных – ноль, разность ∆ = ½ - 0 = ½ = , т.е. необходимое и достаточное условие выполняется, следовательно, САУ с АФХ вида 1 в замкнутом состоянии будет устойчива;

б) для кривой 2: положительных переходов ½, отрицательных – 1, разность ∆ = ½ -1 = - ½ ≠ , следовательно, САУ неустойчива в замкнутом состоянии;

в) система, имеющая АФХ вида 3, находится на границе устойчивости.

Пример 2

– система Астатическая (ν = 1)

Количество правых корней l = 1 ( ). Вид АФХ с дополняющей дугой приведен на рис. 5.11 (дополнение проведено от отрицательной полуоси, так как l = 1 – нечетное).

Для устойчивости данной САУ необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов через отрезок [-∞; -1] была равна = ½.

рисунок 5.11

В нашем случае: положительных – ноль, отрицательных – ½, разность ∆ = 0 - ½ = - ½ ≠ ½, следовательно, данная САУ в замкнутом состоянии неустойчива, причем ее устойчивость не достигается никаким изменением параметров. Таким образом, для оценки устойчивости замкнутой САУ по критерию Найквиста необходимо: 1. получить передаточную функцию разомкнутой САУ

2. Определить, устойчива ли разомкнутая САУ и выяснить количество правых корней l в D(р) = 0.

3. Построить АФХ W(јω).

4. Подсчитать разность ∆ между числом положительных и отрицательных переходов АФХ через отрезок [-∞; -1].

5. Сравнить значения ∆ и .

6. Сделать заключение об устойчивости САУ в замкнутом состоянии.

В том случае, если САУ в разомкнутом состоянии устойчива (l = 0), можно применять формулировку, основанную на охвате точки [-1; ј0], не считая переходов.

Следует заметить, что в случае нахождения САУ на границе устойчивости для частоты ω = ω_к (соответствующей точке [-1; ј0]), справедлива система уравнений

Решая данную систему, находят значения частоты незатухающих колебаний ω_к и критическое значение коэффициента передачи системы К_кр.