5.4 Критерий устойчивости Михайлова

критерий устойчивости Михайлова относится к так называемым частотным критериям, которые основаны на использовании частотных характеристик САУ. Они позволяют сравнительно просто получить ответ об устойчивости системы, дают возможность судить о влиянии на устойчивость САУ различных ее звеньев, позволяют исследовать устойчивость таких САУ, у которых неизвестны уравнения связи отдельных элементов, но имеется возможность экспериментального определения частотных характеристик.

В 1938 году А.В.Михайлов предложил графо-аналитический критерий устойчивости, применяемый для определения устойчивости замкнутых автоматических систем любого порядка.

Применение критерия устойчивости Михайлова связано с построением характеристической кривой, которая называется также кривой Михайлова, описываемой характеристическим вектором на комплексной плоскости.

Характеристический вектор замкнутой системы получают из характеристического многочлена.

(5.8)

путем замены р на јω.

Сделав замену и произведя группировку членов, содержащих и не содержащих ј, получим

(5.9)

где – вещественная часть вектора;

– мнимая часть вектора.

Задаваясь различными значениями ω от 0 до ∞ и откладывая Х(ω) по оси абсцисс, а У(ω) – по оси ординат декартовой системы координат, строят кривую, называемую годографом характеристического вектора или годографом Михайлова. Анализируя выражение (5.9), нетрудно заметить, что:

1) при ω = 0 этот годограф начинается в точке a₀, лежащей на вещественной оси, а заканчивается в точке, соответствующей ω = ∞. Эта точка лежит в n-м квадранте, где n – степень характеристического полинома (5.8);

2) кривая Михайлова симметрична относительно вещественной оси, что следует из четности Х(ω) и нечетности функции У(ω). Поэтому при исследовании систем кривая строится только для положительных значений частоты ω (0 ≤ ω ≤ ∞);

3) в устойчивой системе края Михайлова при изменении ω от 0 до ∞ последовательно обходит все квадранты против часовой стрелки, охватывая начало координат.

Формулировка критерия.

Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова при изменении частоты ω от 0 до ∞ обходила последовательно в положительном направлении (против хода часовой стрелки) n квадрантов комплексной плоскости, где n – степень характеристического многочлена.

Если годограф проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости.

Кривые Михайлова для устойчивых систем различного порядка изображены на рис. 5.2.

Рисунок 5.2

Рисунок 5.3

Рисунок 5.4

Кривые Михайлова, соответствующие неустойчивым САУ, изображены на рис. 5.3.

На рис. 5.3 видно, что здесь нарушена очередность пересечения кривыми осей координат (или порядок обхода маршрутов).

Для системы, находящейся на границе устойчивости, кривая Михайлова изображена на рис. 5.4. она проходит через начало координат. В этом случае при ω = ω_к выполняется равенство Х(ω_к) = 0, У(ω_к) = 0. одно из этих равенств позволяет найти частоту колебаний ω_к, а другое – критическое значение какого-либо параметра (например, К).

Таким образом, чтобы оценить устойчивость замкнутой САУ с помощью критерия Михайлова, необходимо:

1. Найти А(р) = В(р) + D(р).

2. Подставить р = јω в А(р), получить А(јω) и выделить Х(ω) и У(ω), т.е. А(јω) = Х(ω) + јУ(ω).

3. построить по нескольким значениям Х(ω₁) и У(ω₁) А(јω).

4. Воспользоваться формулировкой и оценить устойчивость.