5.3 Критерий устойчивости Гурвица

в 1895 г. немецким математиком А.Гурвицом были выведены аналитические условия отрицательности вещественных частей всех корней характеристического уравнения n-й степени в виде системы неравенств, содержащих коэффициенты этого уравнения. в теории автоматического управления эти условия известны под названием критерия устойчивости Гурвица.

по критерию Гурвица можно судить об устойчивости систем как в замкнутом, так и в разомкнутом состоянии. Для этого необходимо воспользоваться в первом случае характеристическим уравнением (5.2), а во втором случае – характеристическим уравнением (5.3).

Рассмотрим критерии Гурвица включает применительно к замкнутой САУ с характеристическим уравнением:

(5.5)

и приведем его формулировку без доказательства.

Математической основой критерия является теория определителей. Система неравенства Гурвица включает в себя главный определитель ∆_n Гурвица и все его диагональные миноры ∆_i, где i = 1, 2, … , n-1.

Определитель ∆_n составляется из коэффициентов характеристического уравнения (5.5) и имеет следующий вид:

		1	2	3						n-2	n-1
	an-1	an	0	0	0	0	0	…	0	0	0
	an-3	an-2	an-1	an	0	0	0	…	0	0	0
	an-5	an-4	an-3	an-2	an-1	an	0	…	0	0	0
∆n =	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	(5.6)
	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
	0	0	0	0	0	0	0	…	a2	a3	a4
	0	0	0	0	0	0	0	…	a0	a1	a2
	0	0	0	0	0	0	0	…	0	0	a0

Правило составления следующее. По главной диагонали записывают все коэффициенты уравнения (5.5), начиная с a_n-1 до a₀ включительно в порядке нумерации. Затем заполняют горизонтальные строки: справа от каждого элемента главной диагонали записывают коэффициенты с последовательно возрастающими индексами, а слева – с последовательно убывающими индексами. При этом вместо коэффициентов с индексами, большими n или меньшими 0, записывают нули (в случае отсутствия в характеристическом уравнения какого-либо коэффициента также записывается нуль).

Диагональные миноры ∆_i, где i = 1, 2, …, (n-1), представляют собой определители Гурвица низшего порядка. Они получаются отчеркиванием i-й строки и i-го столбца, как это показано в ∆_n штриховыми линиями и имеют вид:

∆1 = an-1;	∆2 =	an-1	an	; …	∆n = ∆n-1 a0;
		an-3	an-2

Формулировка критерия: для устойчивости системы с характеристическим уравнением

необходимо и достаточно, чтобы при a_n > 0 главный определитель Гурвица и все его диагональные миноры были положительны, т.е. чтобы

a_n > 0; ∆₁ > 0; ∆₂ > 0; … ∆_n-1 > 0; ∆_n > 0 (5.7)

Гурвиц показал, что если a_n > 0; ∆₁ > 0; ∆₂ > 0; … ∆_n-2 > 0, а ∆_n = ∆_n-1a₀ = 0, т.е. a₀ = 0 при ∆_n-1 > 0 или ∆_n-1 = 0 при a₀ > 0, то характеристическое уравнение (5.5) будет иметь один нулевой корень или одну пару чисто мнимых корней. При этом все остальные корни будут левыми. Это означает, что в первом случае система будет находиться на апериодической границе устойчивости, а во втором случае – на колебательной границе устойчивости. Причем, первый случай может иметь место только в разомкнутой системе, а второй – как в разомкнутой, так и в замкнутой. Таким образом, выражение ∆_n-1 = 0 является условием нахождения замкнутой САУ на колебательной границе устойчивости. Воспользовавшись равенством ∆_n-1 = 0, можно при заданных параметрах системы принять за неизвестный какой-либо из них (например, коэффициент усиления) и определить его критическое значение.

Найдем условия устойчивости по Гурвицу для замкнутых САУ первого, второго, третьего и четвертого порядков, т.е. для систем с характеристическим уравнением , когда n = 1, n = 2, n = 3, n = 4.

САУ первого порядка.

Характеристическое уравнение:

Главный определитель Гурвица: ∆_n = ∆₁ = | a₀ | = a₀

Необходимое и достаточное условие устойчивости по критерию Гурвица: a₁ > 0; a₀ > 0.

САУ второго порядка.

Характеристическое уравнение:

Главный определитель Гурвица ∆_n = ∆₂ и его диагональный минор ∆₁:

∆ n = ∆2 =	a1	a2	= a1a0;	∆1 = a1
	0	a0

Согласно критерию Гурвица: a₂ > 0; ∆₁ = a₁ > 0 и ∆₂ = a₁a₀ > 0, т.е. при a₁ > 0, a₀ > 0, то САУ устойчива. Следовательно, для САУ второго порядка необходимое и достаточное условие устойчивости имеет вид:

a₂ > 0; a₁ > 0; a₀ > 0

Равенство ; ∆₁ = a₁ > 0 при a₂ > 0 и a₀ > 0 является условием нахождения системы на колебательной границе устойчивости.

САУ третьего порядка.

Характеристическое уравнение:

Главный определитель Гурвица ∆_n = ∆₃ и его диагональный минор ∆₁ и ∆₂ имеют вид:

∆ n =	a2	a3	0	; ∆1 = a2;	∆1 =	a2	a3	= a1a2 - a0a3
	a0	a1	a2			a0	a1
	0	0	a0

Согласно критерию Гурвица, если a₃ > 0; ∆₁ = a₂ > 0, ∆₂ = a₂ a₁ – a₀ a₃ > 0, ∆₃ = ∆₂a₀ > 0, т.е. при ∆₃ = (a₂a₁ – a₀a₃)a₀ > 0, то САУ устойчива. Из неравенства ∆₃ = ∆₂a₀ > 0 следует, что при a₃ > 0, a₂ > 0 и a₀ > 0 определить ∆₂ будет больше нуля, если, во-первых, a₂a₁ > 0, т.е. a₁ > 0, и, во-вторых, a₂a₁ > a₀a₃. следовательно, для устойчивости САУ третьего порядка необходимо и достаточно, чтобы

a₃ > 0, a₂ > 0, a₁ > 0, a₀ > 0 и

a₂a₁ > a₀a₃, т.е. ∆₂ > 0

если при a₃ > 0, a₂ > 0, a₁ > 0, a₀ > 0, ∆₂ = a₁a₂ - a₀a₃ = 0, то САУ находится на колебательной границе устойчивости. При этом из равенства a₁a₂ - a₀a₃ = 0 находят критическое значение параметра.

Аналогично можно показать, что для устойчивости САУ четвертого порядка с характеристическим уравнением

необходимо и достаточно, чтобы

a₄ > 0, a₃ > 0, a₂ > 0, a₁ > 0, a₀ > 0 и

∆₃ > 0

если при a₄ > 0, …, a₀ > 0, то САУ находится на колебательной границе устойчивости.

Таким образом, необходимым и достаточным условием устойчивости по Гурвицу для САУ первого и второго порядков является положительность коэффициентов характеристического уравнения, а для САУ третьего и четвертого порядков – положительность коэффициентов характеристи-ческого уравнения и выполнение дополнительных неравенств ∆₂ > 0 и ∆₃ > 0 соответственно.

Для систем пятого и шестого порядков кроме положительности коэффициентов характеристического уравнения, требуется выполнение неравенств ∆₂ > 0, ∆₄ > 0 и ∆₃ > 0, ∆₅ > 0 соответственно. следовательно, для систем выше четвертого порядка число дополнительных неравенств возрастает. Возрастает и сложность этих неравенств, практическое вычисление которых становится трудоемким. Поэтому критерий Гурвица целесообразно применять для систем не выше четвертого порядка (n ≤ 4).