6.5.3 Оценка качества сау по частотным

характеристикам разомкнутой системы

основными частотными характеристиками разомкнутой системы по которым можно приближенно оценить качество переходного процесса замкнутой САУ, является АФХ W(jω) и ЛЧХ L(ω), Θ(ω). Так, например, по АФХ W(jω) и по ЛЧХ L(ω), Θ(ω) можно определить запасы устойчивости системы по амплитуде (модулю) и фазе. В хорошо демпфированных системах запас устойчивости по амплитуде должен составлять 6-20 дБ, что соответствует 2-10 в линейном масштабе, а по фазе 30-60⁰. чем меньше запасы устойчивости Θ_з и L_з, тем больше склонность системы к колебаниям и тем выше резонансный пик А_мах, т.е. тем больше показатель колебательности М.

С помощью АФХ W(jω) и ЛЧХ L(ω), Θ(ω) можно определить не только запасы устойчивости системы по амплитуде и фазе, но и показатель колебательности М, резонансную частоту ω_р и другие числовые характеристики, являющиеся важными критериями качества САУ.

Наиболее простой оценкой колебательности переходной характеристики h(t) замкнутой САУ по ее АФХ W(jω) в разомкнутом состоянии является признак колебательности. Суть этого признака состоит в следующем. Если АФХ W(jω) астатической системы (кривая 1 на рис. 6.11а) пересекает прямую U = -0,5, то переходная характеристика – колебательная. Если пересечения нет (кривая 2 на рис. 6.11а), то переходная характеристика имеет монотонный характер. Если АФХ статической системы (кривая 1 на рис. 6.11б) пересекает окружность радиуса , центр которой расположен на положительной вещественной полуоси в точке , где К - коэффициент передачи разомкнутой системы, то переходная характеристика – колебательная. При отсутствии указанного пересечения (кривая 2 на рис. 6.11 б) переходная характеристика имеет монотонный характер.

U

U=-0,5

jV

1

2

jV

U

1

2

K

R

a

a

б

Рисунок 6.11

В инженерной практике наиболее широкое применение получила оценка качества замкнутой САУ по виду ее ЛЧХ L(ω), Θ(ω) в разомкнутом состоянии, основанная на связи параметров ЛЧХ с параметрами ВЧХ. Причем, если система в разомкнутом состоянии минимально-фазовая, то о качестве САУ можно судить только по одной амплитудной характеристике (по асимптотической ЛАХ). На основании расчетов переходных характеристик h(t) установлено, что для удовлетворительного качества САУ ЛАХ в окрестности частоты среза ω_с должна иметь наклон -20 дБ/дек. Протяженность этого участка влияет на перерегулирование. В частности, с увеличением этого участка уменьшается перерегулирование и, следовательно, число колебаний в переходном процессе. Время регулирования зависит от частоты среза ω_с; чем больше ω_с, тем меньше t_р. В связи с возможностью такой оценки качества управления введены типовые ЛАХ L(ω) для САУ с астатизмом первого порядка (рис. 6.12). при этом ЛАХ условно разделяют на три основные участка: низкочастотный, среднечастотный и высокочастотный.

Рисунок 6.12

Низкочастотный участок ЛАХ (0, ω) характеризует точность системы в установившемся режиме, так как его вид всецело определяется количеством интегрирующих звеньев ν и коэффициентов передачи К. наклон этого участка составляет -ν·20 дБ/дек, где ν – порядок астатизма системы относительно задающего воздействия. Напомним, что при ν = 0 система является статической; при ν = 1 –астатической первого порядка; при ν = 2 – астатической второго порядка и т.д.

Среднечастотный участок (ω₂, ω₃) определяет запас устойчивости системы и в значительной мере форму переходной характеристики h(t). ЛАХ вблизи частоты среза ω_с должна иметь наклон - 20 дБ/дек, а протяженность этого участка не должна быть меньше декады, т.е. ω₃/ω₂ ≥ 10, и отношение частот 2 ≤ ω₃/ω_с ≤ 4. эти неравенства определяют не только длину среднечастотного участка ЛАХ с наклоном -20 дБ/дек, но и положение частоты среза на этом участке. При выполнении указанных неравенств замкнутая САУ будет иметь необходимые запасы устойчивости Θ_з, L_з и практически приемлемые значения перерегулирования σ и времени регулирования t_р. Например, САУ с ЛАХ наклоны участков 1, 2, 3 и 4 которой равны -20 дБ/дек, -40 дБ/дек, -20 дБ/дек, -40 дБ/дек., будет иметь σ ≤ 20-30%, t_р ≈ π/ω_с, если ω₂/ω₃ ≈ 10; 2 < ω₃/ω_с < 4; при ω₃/ω₂ < 10 переходная характеристика этой САУ имеет излишне колебательный характер.

Высокочастотный участок (ω, ∞) не оказывает существенного влияния на качество системы. Он включает интервал частот, в котором L(ω) < -16 дБ, что соответствует Р(ω) ≤ (0,1-0,2)Р(0). Влияние этой высокочастотной области сказывается на начальном участке переходной характеристики.

Участок ЛАХ в интервале частот от ω₁ до ω₂ можно считать промежуточным. Он оказывает менее существенное влияние на точность системы и показатели качества h(t), чем низкочастотный и среднечастотный участки.

Промежуточный и высокочастотный участки типовой ЛАХ обычно имеют наклон (-40, -60 дБ/дек). Поэтому различают четыре типа ЛАХ, участки 1, 2, 3 и 4, которых имеют соответственно следующие наклоны в дБ/дек: ЛАХ 1 типа: -20, -40, -20, -40; ЛАХ 2 типа: -20, -60, -20, -40; ЛАХ 3 типа: -20, -40, -20, -60; ЛАХ 4 типа: -20, -60, -20, -60.

Для типовых ЛАХ составлены специальные номограммы качества, по которым, располагая параметрами типовых ЛАХ, можно найти основные показатели качества переходного процесса h(t), а также получить дополнительные сведения о качестве САУ. В практике используются номограммы качества В.В. Солодовникова и г.Честната, Р.Майера. при разработке этих номограмм за основные параметры типовых ЛАХ были приняты: а) L(ω₁) – ордината ЛАХ при частоте ω₁; б) ω₁/ω_с, ω₃/ω_с – отношение частот ω₁ и ω₃ к частоте среза; в) наклон промежуточного и высокочастотного участков.

Номограммы качества Солодовникова позволяют по перечисленным параметрам типовых ЛАХ найти время регулирования t_р, перерегулирования σ, максимальное значение второй производной переходной характеристики, запас устойчивости системы по фазе Θ_з, а также коэффициенты ошибок с₁, с₂. номограммы качества Честната-Майера по тем же параметрам ЛАХ дают возможность определить время регулирования t_р, время t_м – достижения максимума переходной характеристики, величину максимума h_мах, круговую частоту колебаний переходной характеристики, а также величину максимума А_мах АЧХ А(ω) на резонансной частоте ω_р. Полное описание этих номограмм и их применение для определения перечисленных показателей качества по типовым ЛАХ астатических систем первого порядка и по ЛАХ, близким к типовым, можно найти в литературе по ТАУ.

Следует иметь в виду, что эти номограммы качества могут быть использованы и при исследовании статических систем, а также систем с астатизмом выше первого порядка для определения перерегулирования и времени регулирования t_р. Объясняется это тем, что если две ЛАХ, соответствующие минимально-фазовым системам, отличается друг от друга лишь в области низких частот, где | W(jω) | = Н(ω) ≥ 1, то им соответствуют близкие ВЧХ, а следовательно, и переходные характеристики h(t). Так, например, если ЛАХ L(ω) статической системы и системы с астатизмом первого и второго порядка совпадают при тех ω, при которых | L(ω) | > 30 дБ, то ВЧХ Р(ω) этих систем в замкнутом состоянии отличаются от ВЧХ системы с астатизмом первого порядка не более чем на 2,5%.

52