6.5 Оценка качества переходного процесса по чх

6.5.1 Оценка качества сау по ее вчх

основными признаками, которые позволяют судить о качестве САУ непосредственно по виду ВЧХ Р(ω), изображенных на рис. 6.5 являются следующие:

Рисунок 6.5

1. Установившееся значение переходной характеристики равно начальному значению ВЧХ, т.е. = Р(0), где Р(0) – значение ВЧХ Р(ω) при ω=0. для астатических САУ h_у=р(0)=1, для статических h_у=р(0 = К/1+К.

2. Если ВЧХ Р(ω) представляет собой непрерывную положительную функцию частоты с отрицательной убывающей по абсолютной величине производной (рис. 6.5, кривая 1), т.е. Р(ω) > 0; dР(ω)/dω < 0, то переходная характеристика системы имеет монотонный характер, т.е. σ = 0 %.

3. Если ВЧХ Р(ω) есть непрерывная положительная невозрастающая функция частоты (рис. 5.6, кривая 2), т.е. если Р(ω) > 0; dР(ω)/dω ≤ 0, то переходная характеристика системы имеет перерегулирование σ ≤ 18 %.

4. Если непрерывная положительная ВЧХ Р(ω) имеет максимум (рис. 6.5, кривая 3), то переходная характеристика системы имеет перерегулирование

< %

5. Если ВЧХ Р(ω) имеет положительный Р_мах и отрицательный Р_мin экстремумы (рис. 6.6), то

<

где < %; σ_д = 0,3| Р_min |100%

6. Длительность переходной характеристики (время t_р) в первом приближении оценивается шириной ВЧХ Р(ω), определяемой значением частоты ω_п, при которой Р(ω) < 0,1Р(0). Это значение частоты приближенно определяет полосу пропускания системы и называется интервалом положительности. Если ВЧХ Р(ω) имеет интервал положительности ω_п, то время регулирования t_р при ∆ = 0,05h_у в общем случае будет больше, чем π/ω_п, т.е. t_р > π/ω_п. для ВЧХ Р(ω) в виде кривой 1 на рис. 6.5 t_р > 4π/ω_п, а для ВЧХ в виде кривой 2 на рис. 6.5 t_р = (1-4)π/ω_п, т.е. π/ω_п ≤ t_р ≤ 4π/ω_п. для ВЧХ Р(ω) в виде кривой 3 на рис. 6.5 и для ВЧХ на рис. 6.6 время регулирования t_р тоже связано с ω_п обратно пропорциональной зависимостью, аналогичной (6.28). однако значение коэффициента пропорциональности (1-4) в этом случае зависит от Р_мах, увеличиваясь с возрастанием величины Р_мах.

Оценка качества переходного процесса по ВЧХ Р(ω) в значительной степени упрощается, если имеется связь между показателями качества и параметрами ВЧХ Р(ω). Такая связь в виде графических зависимостей σ и t_р от параметров ВЧХ Р(ω) была получена В.В. Солодовниковым.

Рисунок 6.6

На рис. 6.7 приведены наиболее часто встречающиеся три типовые формы ВЧХ. Условимся их называть ВЧХ первого типа (рис. 6.7а), ВЧХ второго типа (рис. 6.7б) и ВЧХ третьего типа (рис. 6.7в), положительная часть которой по форме может соответствовать одной из ВЧХ Р(ω) первого или второго типа.

Рассмотрим связь между показателями качества переходного процесса и ВЧХ второго типа, как наиболее часто встречающуюся на практике.

Аппроксимированная ВЧХ второго типа (рис. 6.7б) определяется, в основном, начальной ординатой Р(0), максимальным значением ВЧХ Р_мах, интервалом положительности ω_п и основным коэффициентом наклона = ω_d/ω_п. можно показать, что в системах с ВЧХ второго типа перерегулирование σ и время регулирования t_р = nπ/ω_п зависят от Р_мах и .

Строя переходные характеристики h(t) при заданном Р_мах для различного коэффициента , можно определить максимально возможные значения времени регулирования t_р и перерегулирования σ. Повторяя аналогичные построения h(t) для этого же параметра при других заданных значениях Р_мах, нетрудно получить данные для построения графиков зависимостей σ_мах = f₁(Р_мах) и t_{р мах} = f₂(Р_мах). Такие графики были построены В.В. Солодовниковым и для значений параметров < 0,8 изображены на рис. 6.8.

Из графиков видно, что при изменении Р_мах от 1,1 до 1,5 максимально возможное перерегулирование увеличивается от 22% до 42%. При этом увеличивается и максимально возможное время регулирование от 3,4π/ω_п до

Рисунок 6.7

Рисунок 6.8

6,7π/ω_п. графики позволяют определить максимально возможные величины σ_мах и t_рмах, если известны параметры аппроксимированной ВЧХ второго типа.

Пример 1. Пусть исследуемая САУ имеет ВЧХ второго типа с параметрами Р(0) = 1, Р_мах = 1,25, ω_d = 9 с^-1, ω_п = 12 с^-1. требуется определить σ_мах и t_рмах.

решение. В данном примере = 9/12 = 0,75, т.е. значение второго параметра удовлетворяет неравенству ≤ 0,8. входя в графики по величине Р_мах = 1,25, получим σ_мах = 28%, t_{р мах} = 4,35π/ω_п = 4,35*3,14/12 = 1,14 с.

Перейдем теперь к рассмотрению связи между показателями качества переходного процесса и параметрами ВЧХ Р(ω) третьего типа (рис. 6.7в). форма положительной части ВЧХ третьего типа может быть аналогична форме одной из ВЧХ первого или второго типа. Как показал анализ кривых h(t), соответствующих ВЧХ с различными Р_min при одних и тех же Р_мах и ω_п, время регулирования остается практически неизменным. Оно, в основном, определяется положительной частью ВЧХ. Поэтому при положительной части, соответствующей ВЧХ второго типа, время регулирования по-прежнему определяется по графикам, изображенным на рис. 6.8. установлено, что наличие отрицательного экстремума Р_min вызывает дополнительное перерегулирование σ_д, которое приближенно определяется выражением

σ_д ≈ 0,3| Р_min |100% (6.29)

Следовательно, результирующее перерегулирование σ будет определяться соотношением

≤

где σ_мах – перерегулирование, соответствующее положительной ВЧХ.

Пример 2. Пусть исследуемая САУ имеет ВЧХ Р(ω) третьего типа с параметрами Р(0) = 1, Р_мах = 1,2, Р_min = -0,3, ω_d = 4,8 с^-1, ω_п = 7 с^-1. = ω_d/ ω_п = 4,8/7 = 0,685 < 0,8. требуется определить время регулирования и перерегулирования.

Решение. По графикам для Р_мах = 1,2 имеем t_{р мах} = 4π/ω_п = 4*3,14/7 = 1,79 с; σ_мах = 26%. В соответствии с выражением (6.29) и (6.30) получаем σ_д = 0,3*|-0,3|*100% = 9%; σ ≤ 26% + 9% = 35%. Это значит, что в исследуемой САУ с такой ВЧХ Р(ω) t_р ≤ 1,79 с; σ ≤ 35%.

Из изложенного следует, что графики (см. рис. 6.8) позволяют достаточно просто определять значения показателей качества переходного процесса t_р и σ системы по некоторым параметрам ее ВЧХ Р(ω), т.е. решать одну из важных задач анализа САУ. С другой стороны, эти графики можно использовать и для решения обратной задачи – задачи выбора по заданным значениям t_{р мах} и σ_мах некоторых параметров ВЧХ Р(ω) и ТЧХ L(ω), Θ(ω), поскольку между ВЧХ и ЛЧХ существует однозначная связь.