Пассивный участок

Рассмотрим уравнения движения в проекциях на касательную и нормаль к траектории:

, ,

, .

Эта система уравнений интегрируется при следующих начальных условиях:

, , , ,

Индекс «а» обозначает конец активного участка. Конечные значения активного участка становятся начальными значениями пассивного. Условие окончания интегрирования – у=0.

При расчете пассивного участка полета ЛА используется ряд допущений:

1. Реактивная сила R равна нулю (R=0);

2. Поверхность Земли представляется в виде бесконечной плоскости;

3. Масса ЛА постоянна ( ).

Алгоритмы численного интегрирования

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество. Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, в противном случае дифференциальными уравнениями в частных производных. Наивысший порядок производной или старшего дифференциала искомой функции в уравнении называется порядком этого уравнения. Процесс отыскания решения называется  интегрированием  дифференциального уравнения. График решения на плоскости  называется  интегральной кривой. Разностные методы решения дифференциальных уравнений – это способы вычисления значений искомого решения y(x) на некоторой сетке значений аргумента. Разностные методы позволяют находить только конкретное(частное) решение, например решение задачи Коши. В настоящее время они являются основными при решении дифференциальных уравнений с помощью ПК. Одним из простейших разностных методов является метод ломаных, или Метод Эйлера. Если требуется решить задачу Коши, на отрезке [x, x_N] на данном отрезке выбирают некоторую сетку значений аргумента x₀,x₁,…,x_N, для которых вычисляют значения функции y по схеме:

Y_n+1= y_n + h_nf(x_n,y_n ) ,h_n=x_n+1-x_n ,

Где n= 0,1,…,N-1

В методе Эйлера подынтегральная функция выносится при нижнем пределе интегрирования: Δ(x,h)≈f(x,y(x) )h=y’h. Это приближение геометрически соответствует движению от точки x к точке x+h по касательной к кривой y(x) в точке x. Расчетные формулы метода Эйлера:

y_k+1= y_k + hf(x_k,y_k ), x_k=x_k-1+h,

y(x₀)=y₀, y_k= y(x_k).

Этот метод дает хорошее приближение к решению только для достаточно малых h, так как погрешность метода Эйлера определяется остаточным членом ряда Тейлора:

т.е. на каждом шаге вычислений R~h². Для обеспечения сходимости шаг h следует выбирать достаточно малым. Для метода Эйлера-Коши погрешность имеет порядок h².

Более высокую точность обеспечивает метод Рунге-Кутта. Вычислительная схема:

yk+1 =yk + Δy, yk= y(xk), xk=xk-1+h, Δk(xk,h)= Δy=

где

 = f(x_k ,y_k )·h ,

 = f(x_k + h/2 , y_k + h  /2) ,

 = f(x_k + h/2 , y_k + h  /2) ,

 = f(x_k + h , y_k + h )·h.

В основе получения вычислительных схем этого метода лежит разложение функции y(x) в ряд Тейлора с последующим преобразованием отрезка ряда к виду, не содержащему производных. На шаге hпроизводная апроксимируется параболой второго порядка. Здесь функция f(x,h) определяется формулой парабол Симпсона (формула Ньютона-Котеса для трех узлов):

Если дано дифференциальное уравнение при начальном условии (x_A,y_A) определяют значение производной в начальной т. А:

Рис. 2

Из начальной т. А проводят прямую y=y_A+y_B^’(x-x_А) (рис. 2). Отмечают значение её ординаты в середине шага интегрирования h (т.В) с координатами

Находят значение производной по формуле т. В: y=y_A+y_B^’(x-x_А). Отмечают значение ординаты этой прямой в середине шага интегрирования h (т.С) с координатами

По уравнению находят значение производной в т. С: y=y_A+y_С^’(x-x_А). Значение ординаты этой прямой в конце шага интегрирования h (т.D) с координатами

В результате построений находят значения производных y’ в тт. A, B, Cи D (рис. 3) . В точке с абсциссой получается два значения производной вместо одного, что является следствием приближенного метода. Принимается, что в этой точке среднее значение производной .

Кривая, изображающая зависимость y’=y’(x), проходит через тт. А, М и D и представляет собой параболу с рис. 3 уравнением:

y’=а+b(x- ².

Значения коэффициентов a,bи с выбираются из условия прохождения параболы через точки. Коэффициент a= Из уравнения параболы y’=а+b(x- ²получают систему:

решение которой:

Интегрируется уравнение параболы y’=а+b(x- ²в пределах от x=x_Aдо x= x_A+hΔy= Таким образом:

Достоинство метода Рунге-Кутта в том, что алгоритмы, полученные на его основе, являются однородными, т.е. не изменяющимися при переходе от одной точки сетки к другой. Кроме того, можно изменять шаг интегрирования в соответствии с требуемой точностью вычислений без значительного усложнения самого алгоритма. Основной недостаток в том, что для нахождения приближенного решения в одной точке сетки требуется несколько вычислений правой части уравнения f(x,y), что значительно увеличивает расчетное время вычислений.

Для системы дифференциальных уравнений первого порядка данный алгоритм выполняется для каждого уравнения системы параллельно.