Тема 2. Финансовые вычисления на основе сложных и смешанных процентов

До изучения сложных процентов следует освоить операцию реинвестирования, когда после начисления процентов полученную сумму присоединяют к исходной величине и далее вновь начисляют проценты. При использовании реинвестирования наращенная сумма вычисляется по формуле:

S=S₀(1+n₁i₁)(1+n₂i₂)...(1+ n_ki_k),

где n₁, n₂, ..., n_k - продолжительность периодов наращивания денег

i₁, i₂,..., i_k - ставки, при которых происходит реинвестирование.

При равных периодах начисления и ставках:

S=S₀(1+ni)^k,

где k - число операций реинвестирования. Реинвестирование позволяет лучше понять суть вычислений при начислении сложных процентов.

Рекомендуется убедиться в том, что операция реинвестирования всегда выгодна вкладчику, сопоставив результаты расчета наращенной денежной суммы по формуле простых процентов и с использованием реинвестирования за один и тот же период времени.

Затем переходят к изучению двух способов начисления сложных процентов - декурсивного (последующего) и антисипативного (предварительного).

Декурсивное начисление сложных процентов - начисление и добавление процентного платежа к капиталу в конце каждого периода является традиционным для отечественной практики. При этом наращенная денежная сумма определяется по формуле:

S=S₀(1+i)ⁿ

Изменение ставки сложных процентов для различных периодов времени n₁, n₂, ..., n_k приводит к следующей формуле для определения наращенной суммы:

При антисипативном расчете процентный платеж начисляется в начале каждого периода. Сумму капитала S₀ в начале расчетного периода можно представить как разницу между суммой S₁ в конце расчетного периода и процентным платежом на сумму S₁, вычисленным антисипативно: S₀= S₁- S₁i.

Отсюда S₁= S₀(1-i), аналогично S₂= S₁/(1-i)= S₀/(1-i)ⁿ и т.д. В итоге после n-го шага получим S= S₀/(1-i)ⁿ.

С помощью соответствующих расчетов желательно убедиться, что при антисипативном способе начисления сложных процентов получается больший доход, чем при декурсивном.

В мировой практике антисипативный способ расчета используется в условиях высокой инфляции.

При декурсивном способе начисления сложных процентов нужно уметь рассчитывать наращенную денежную сумму при периодах начисления процентов месяц, квартал, год, а также при непрерывной капитализации; оценивать период удвоения исходной суммы при использовании простых и сложных процентов.

Начисление процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов i_ном - годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемой на каждом интервале начисления.

Формула для расчета наращенной суммы при начислении сложных процентов m в году имеет вид:

S=S₀(1+i_ном/m)^mn

Таким образом данная формула при ежемесячном начислении процентов имеет вид:

S=S₀(1+i_ном/12)¹²ⁿ, а ежеквартальном - S=S₀(1+i_ном/4)⁴ⁿ.

Желательно сопоставить результаты расчета наращенной суммы по простым процентам, а также сложным процентам при их непрерывности и дискретном исчислении.

Необходимо также рассмотреть сопоставление результатов начисления простых и сложных процентов для периодов менее и более года и убедиться, что при периоде менее года использование простых процентов более выгодно вкладчику, чем сложных. Если же кредит выдает банк, то для периода менее года ему также более выгодно использование простых процентов.

При расчете периода удвоения денежных сумм поступают следующим образом. В случае простых процентов рассматривают равенство (1+ni)=N_pas. Отсюда n_прост=(N-1)/i и при N=2 n_прост=1/i. В случае сложных процентов пользуются соотношением (1+i)ⁿ=Nраз. Тогда n_слож=lg N/lg (1+i) и для периода удвоения (N=2) получим n_слож=lg 2/lg (1+i). Для i=1 периоды удвоения, рассчитанные для случаев простых и сложных процентов, совпадают и равны одному году:

n_прост=1/1=1; n_слож=lg 2/lg 2=1

Далее необходимо рассмотреть смешанные проценты, которые используются для расчета наращенной денежной суммы за дробное число лет. По формуле смешанных процентов наращенная денежная сумма оценивается следующим образом

S_смеш=S₀(1+i)^a(1+bi), где a - целое число лет, b - дробная часть года.

Понятно, что S_смеш больше наращенной суммы, вычисленной по формуле сложных процентов S_слож=S₀(1+i)^a+b, поскольку (1+bi)(1+i)^b при b1.

В расчетах с дробным числом лет может применяться номинальная годовая ставка процентов i_ном. В этом случае наращенная сумма может определяться либо по формуле сложных процентов: