Положение уровня ферми и концентрация свободных носителей заряда в собственных и примесных полупроводниках

Интегрируя выражение для концентрации

в пределах от 0 до бесконечности, можно получить формулу для вычисления концентрации электронов :

(6.5)

Множитель перед экспонентой обозначим через N_C

Тогда (6.5) примет вид:

(6.7)

Множитель N_c в (6.7) называют эффективным числом состояний в зоне проводимости.

Расчет для дырок в валентной зоне приводит к выражению:

(6.8)

где

(6.9)

— эффективное число состояний в валентной зоне.

Собственные полупроводники. В собственных полупроводниках концентрация электронов в зоне проводимости n_i равна концентрации дырок в валентной зоне p_i,. Приравняем (6.5) И (6.8) ,

выражение для n выражение для p

получаем выражение для μ:

(6.10)

Это соотношение и определяет положение уровня Ферми в собственном полупроводнике, который принято обозначить μ_i.

При абсолютном нуле:

(6.11)

Уровень Ферми в собственном полупроводнике располагается посредине запрещенной зоны (рис. 6.3, кривая 1). С повышением температуры в зависимости от соотношения эффективных масс (6.10) µ смещается вверх (кривая 2, рис.6.3). или вниз (кривая 3, рис. 6.3).

Рис. 6.3. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике и изменение его положения с температурой

Умножая (6.5) на (6.8) и извлекая корень, получим выражения для вычисления концентраций носителей заряда для собственного полупроводника

(6.12)

Из (6.12) видно, что равновесная концентрация носителей заряда в собственном полупроводнике определяется шириной запрещенной зоны Е _g и температурой T.

Положение уровня ферми и концентрация носителей заряда в примесном полупроводнике донорного типа. В температурной зависимости положения уровня Ферми и концентрации свободных носителей заряда в примесном полупроводнике донорного типа можно условно выделить три области: область низких температур, истощения примеси и перехода к собственной проводимости.

Область низких температур.. (рис. 6.4, а) Электроны в зоне проводимости появляются только за счет ионизации донорных атомов. Поэтому можно считать, что их концентрация n = N_д — n_д, где N_д — концентрация донорных атомов; n_д — число электронов, оставшихся на донорных уровнях; N_д — n_д — число электронов, перешедших с донорных уровней в зону проводимости.

Рис. 6.4. Изменение положения уровня Ферми с температурой в примесных полупроводниках n-типа: а —зона проводимости и примесные уровни — E_д;. E_i — середина запрещенной зоны; б — изменение положения уровня Ферми с температурой; в — изменение концентрации электронов в зоне проводимости с температурой

Зависимость положения уровня Ферми от температуры:

(6.13)

Из (6.13) видно, что при абсолютном нуле:

(6.14)

и уровень Ферми располагается посредине между дном зоны проводимости и донорными уровнями. С повышением температуры (учитывая второе слагаемое (6.13)) уровень Ферми сначала поднимается вверх к дну зоны проводимости, а затем начинает опускаться и при температуре T_s пересекает донорные уровни (рис. 6.4, б).

Зависимость положения уровня Ферми от температуры:

(6.13)

Из (6.13) видно, что при абсолютном нуле:

(6.14)

уровень Ферми располагается посредине между дном зоны проводимости и донорными уровнями. С повышением температуры (учитывая второе слагаемое (6.13)) уровень Ферми сначала поднимается вверх к дну зоны проводимости, а затем начинает опускаться и при температуре T_s пересекает донорные уровни (рис. 6.4, б).

Зависимость концентрации электронов от температуры в примесном полупроводнике n – типа

. (Ф.12)

В области истощения примеси

n =N_д (Ф. 13)