Функциональные модели представления знаний о системе управления заданиями
Управление переключением потока заданий к системе, состоящей из двух серверов, может осуществляться различным образом. Рассмотрим два возможных варианта управления:
одноуровневое управление;
гистерезисное управление.
И в том, и в другом случае переключение между режимами связано с изменением уровня загруженности сервера, который определяется длиной очереди запросов.
Предположим, что и в том, и в другом режиме длительность обслуживания имеет экспоненциальное распределение. Обозначим параметр этого распределения как в случае использования первого сервера и как в случае применения второго сервера.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЗНАНИЙ О СИСТЕМЕ ОДНОУРОВНЕВОГО УПРАВЛЕНИЯ ЗАДАНИЯМИ
Рис. 1. Взаимосвязь интенсивности потока ответов сервера μ и числа n ожидающих обработки
либо обрабатываемых в данный момент запросов при одноуровневом управлении
Рис. 2. Граф переходов между состояниями с различной длиной
очереди при использовании одноуровневого управления
На рис.2 изображен граф цепи Маркова, соответствующий рассматриваемому процессу рождения и гибели. Вершинам графа соответствуют стационарные вероятности нахождения процесса N(t) в конкретном состоянии, а дугам — интенсивности переходов между состояниями.
В случае одноуровневого управления работа системы определяется параметром L, а также интенсивностью потока запросов и интенсивностями потока ответов сервера для двух различных режимов работы: и . Переход между режимами работы серверной системы происходит, когда количество запросов к серверу, ожидающих обработки либо обрабатываемых в данный момент (длина очереди), превышает значение L. Обратный переход в режим работы без кеширования происходит, когда длина очереди вновь уменьшается до значения L.
Число запросов N(t), находящихся в системе (ожидающих обработки, либо обрабатываемых в данный момент) в момент времени t, можно описать процессом рождения и гибели с интенсивностью рождения, равной интенсивности входящего потока запросов, и интенсивностью гибели, равной интенсивности потока ответов сервера. Если значения
, принимаемые процессом N(t), назвать его состояниями, то установившиеся (стационарные) вероятности нахождения процесса N(t) в состоянии n вычисляются рекуррентно:
|
(2) |
где и — интенсивности входящего потока запросов и потока ответов сервера соответственно, при ;
|
(3) |
Стационарная вероятность вычисляется из того условия, что
|
(4) |
Введём обозначения и и предположим, что . Из соотношений (2) – (4) следует, что
|
(5) |
|
(6) |
|
(7) |
Производящая функция от стационарного распределения длины очереди
|
(8) |
Средняя длина очереди, т.е. среднее количество запросов к серверу, находящихся в системе (ожидающих обработки, либо обрабатываемых в данный момент)
|
(9) |
Поскольку из всех находящихся в системе запросов в любой момент времени t один и только один запрос находится на обработке, то для любого число ожидающих обработки запросов связано с количеством всех находящихся в системе запросов следующим соотношением:
|
(10) |
Следовательно, производящая функция от стационарного распределения числа запросов, ожидающих обработки связана с найденной ранее производящей функцией соотношением
|
(11) |
Таким образом,
|
(12) |
и среднее число ожидающих обработки запросов
|
(13) |
Связь между средним временем ответа и средним числом находящихся в системе запросов задает одна из формул Литтла: . Аналогичным соотношением связаны между собой среднее время ожидания и среднее число ожидающих обработки запросов: Длительность обслуживания позволяет вычислить следующее соотношение:
Время ответа (T) = время ожидания (W) + длительность обслуживания (S).
Воспользовавшись соотношениями (7), (9), (13) и формулами Литтла, запишем итоговые выражения для искомых параметров.
Среднее время простаивания в очереди при одноуровневом управлении:
|
(14) |
среднее время обслуживания при одноуровневом управлении:
|
(15) |
где , ,
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЗНАНИЙ О СИСТЕМЕ ДВУХУРОВНЕВОГО УПРАВЛЕНИЯ ЗАДАНИЯМИ
Рис. 3. Взаимосвязь интенсивности потока ответов сервера μ и числа n ожидающих обработки
либо обрабатываемых в данный момент запросов при гистерезисном управлении
В случае гистерезисного управления работа системы определяется параметрами и ,
, а также интенсивностью потока запросов и интенсивностями потока ответов сервера для двух различных режимов работы — и . Переход между режимами работы серверной системы происходит, когда количество запросов к серверу, ожидающих обработки либо обрабатываемых в данный момент (длина очереди), достигает значения L2. Обратный переход в режим работы без кеширования происходит, когда длина очереди уменьшается до значения L1.
Для простоты положим , , и обозначим , . Состояния системы определяются числом находящихся в системе запросов (длина очереди) и режимом работы (с кешированием или без кеширования). Выполним нумерацию состояний системы следующим образом. Для состояний, соответствующих работе с первым сервером, каждому состоянию с длиной очереди при , где поставим в соответствие число . Для состояний, соответствующих работе со вторым сервером, каждому состоянию с длиной очереди при , поставим в соответствие число .
На рис. 4 изображен граф цепи Маркова, соответствующий процессу рождения и гибели, описывающему число запросов N(t), находящихся в системе (ожидающих обработки, либо обрабатываемых в данный момент) в момент времени t. Вершинам графа соответствуют стационарные вероятности нахождения процесса N(t) в конкретном состоянии, пронумерованные в соответствии с нумерацией состояний системы, а дугам — интенсивности переходов между состояниями.
Рис. 4. Граф переходов между состояниями с различной длиной
очереди при использовании гистерезисного управления
Соотношения для стационарных вероятностей введенных состояний можно получить, используя те же рассуждения, что и в случае одноуровневого управления.
Стационарная вероятность вычисляется из условия
|
(16) |
которое после подстановки выражений для можно свести к следующему виду
|
(17) |
Формулы для стационарного распределения числа находящихся в системе запросов (длины очереди) получаются, исходя из соотношений
|
(18) |
и имеют следующий вид:
|
(19) |