10. Пример транспортной модели

У некой компании есть два завода и три оптовых магазина-склада. Первый завод мо­жет поставлять не более 100 единиц определенной продукции, а второй — не более 200 единиц. В первом магазине-складе может храниться не более 150 единиц продукции, во втором — 200, а в третьем — 350 единиц. Цена продажи единицы продукции в первом магазине составляет $12, во втором — $14, в третьем — $15. Суммарные затраты на про­изводство единицы продукции на заводе i и доставку ее в магазин-склад у приведены в табл. 5. Компания хочет определить, сколько единиц продукции нужно отправить с каждого завода каждому магазину, чтобы максимизировать прибыль.

Таблица 5. Удельные суммарные затраты на производство и доставку

		Магазин-склад, долл.
Завод	1	2	3
1 2	8 7	10 9	12 11

Заметим, что здесь выбор переменных решения продиктован самой постановкой за­дачи. В формулировках моделей такого вида переменные решения, как правило, имеют два индекса, поэтому в таблице модели переменные решения содержатся в нескольких строках, а не в единственной строке, как это было в модели компании Oak Product. Обо­значим переменные решения через X_ij — количество единиц продукции, произведенных на заводе i и направленных в магазин-склад j.

Рис. 23 Транспортная модель

Для каждой переменной решения X_ij. соответствующая удельная прибыль вычисляется как цена единицы продукции в данном магазине-складе минус затраты на производство и достав­ку этой единицы с завода i в магазин j. Например, для продукции, доставленной с завода 1 магазин-склад 1 удельная прибыль составит $12 - $8 = $4. Выполнив аналогичные вычис­ления для всех возможных комбинаций "завод-магазин", получим коэффициенты при сла­гаемых целевой функции. Таким образом, символическая модель имеет следующий вид.

Максимизировать 4X₁₁ + 5X₂₁ + 4X₁₂+ 5X₂₂ , + 3Х₁₃ + 4X₂₃

при ограничениях

Х₁₁ + Х₁₂ +Х₁₃<= 100 (производственная мощность 1 завода);

X₂₁+ X₂₂ + X₂₃ <= 200 (производственная мощность 2 завода);

X₁₁ + X₂₁<= 150 (ограничение для 1 магазина-склада);

X₁₂ + X₂₂<= 200 (ограничение для 2 магазина-склада);

Х₁₃ + X₂₃ <= 350 (ограничение для 3 магазина-склада);

X_ij >=0 для всех i, j.

.

Рис. 24. Решение транспортной задачи

Очевидно, что транспортная модель имеет специфическую форму. Например, все ко­эффициенты при переменных X_ij в ограничениях равны 1. Фактически транспортные за­дачи входят в особый класс задач линейного программирования, которые называются сетевыми моделями.

При создании табличной модели в Excel можно разместить переменные решения X_ij так, чтобы в результате получилась компактная таблица. В данном случае переменные решения будут занимать блок ячеек, а не отдельную строку, как в модели Oak Product. Табличная модель показана на рис. 23. Переменные решения, записанные в диапазоне B3:D4, задают объем продукции, произведенный определенным заводом и направлен­ный для продажи в указанный магазин-склад. В диапазоне G3:G4 задаются ограничения производственных мощностей заводов, а в диапазоне B7:D7— ограничения объемов складов. Другие формулы имеют очевидный "бухгалтерский" смысл. На рис. 24 пока­зано оптимальное решение данной модели, а также параметры средства Поиск решения