Выберите правильный ответ

11. Ограничение сужает диапазон значений, которые:

a. может принимать целевая функция;

b. могут принимать переменные решения;

c. ни одно из вышеуказанных;

d. а и Ь.

12. Ограничения могут отображать:

a. требования;

b. условия баланса;

c. все вышеперечисленное.

1 Модель линейного программирования — это:

a. модель условной оптимизации;

b. модель принятия решений при наличии ограничений;

c. модель математического программирования;

d. все перечисленное выше.

14. В модели максимизации:

а. находится максимум целевой функции;

b. находится максимум целевой функции, а затем определятся, является ли данное решение допустимым;

c. находится максимум целевой функции на множестве допустимых решений;

d. все вышеперечисленное.

15. Отличительной особенностью моделей линейного программирования (выделяющей их из более общего класса моделей математического программиро­вания) является то, что:

a. модель ЛП имеет целевую функцию и ограничения;

b. все рассматриваемые функции линейны;

c. находятся оптимальные значения переменных решения.

16. При переходе от реальной проблемы к символической модели полезно:

a. словесно описать все ограничения;

b. дать словесное описание цели;

c. словесно определить переменные решения;

d. сделать все вышеуказанное.

17. Математическая формулировка модели важна потому, что:

a. позволяет использовать математические методы;

b. большинство менеджеров предпочитает работать с символическими моделями;

c. заставляет менеджера четко решить поставленную задачу;

d. позволяет менеджеру отложить принятие решения, делая вид, что он занят.

18. Требование неотрицательности включается в модель ЛП, поскольку:

a. такую модель легче решать;

b. такая модель больше соответствует реальной ситуации;

c. ни первое, ни второе;

d. и первое, и второе.

Вопросы с 19 по 26 относятся к следующей задаче

Три девушки, Лотта Андерсон, Клэр Мосли и Финни Джонс, направляются в Голли­вуд на поиски счастья. Время полета 40 ч. стоимость самолетного топлива S100 за галлон. В Голливуде они знакомятся со всем известным Питером Ренбергом. Чистый годовой до­ход Питера составляет $40 000, а его выплаты по алиментам — $60 000. Питер знает прак­тически всех в городе, поэтому он может занимательно рассказать трем искательницам счастья, как становятся звездами. В настоящее время девушки работают контролерами медицинских препаратов на фармацевтической фабрике. Капсула с препаратом помеща­ется на специальный стол, где она просвечивается, и контролер визуально проверяет ее, выявляя поврежденные, недостаточно наполненные или плохо закрытые капсулы. Лю­бая из девушек может заниматься проверкой капсул. Все девушки различаются по своим внешним данным (росту), а также по скорости и точности выполнения работы, поэтому их работодатель, Флора Сэйджер, установила им разные ставки почасовой оплаты. Дан­ные о рабочих характеристиках и росте девушек приводятся в следующей таблице.

Контролер	Скорость,	шт	./Ч	Точность,	%	Почасовая ставка, S	Рост, см
Лотта	300			98		10, 80	178
Клэр	200			99		10,40	132
Финни	350			96		11,00	164

Флоре нужно, чтобы за 8-часовой рабочий день было проверено не менее 2000 капсул, причем ошибки проверки могут составлять не более 2% от общего количества. Кроме того, из-за нарастающего утомления один контролер не может работать более 4-х часов вдень. Обозначим

X₁ — время, отработанное Лоттой, Х₂ — время, отработанное Клэр, Х₃ — время, отработанное Финни.

Цель разрабатываемой модели — минимизировать затраты на 8-часовую проверку препаратов. Предполагается, что процесс проверки длится все 8 ч; других контролеров, кроме Лотты, Клэр и Финни, нет; одновременно может работать только один контролер; контролер работает не более 4-х часов в день.

19. Какое из следующих неравенств не отражает ограничения для точности проверки?

a. 0,98х300х X₁ + 0,99х200х Х₂ + 0,96х350х Х₃ >= 2000;

b. 0,02х300х X₁ + 0,01x200x Х₂ + 0,04х350х Х₃ <= 0,02x2000;

c. -2 Х₂ + 7Х₃<=0;

d. все.

20. Ограничение, выражающее требование к объему проверенных препаратов, записывается как 300X₁ + 200 Х₂ + 350 Х₃ = 2000.

a. Да.

b. Нет.

21. Исключая условия неотрицательности, правильная формулировка данной задачи содержит 6 ограничений.

a. Да.

b. Нет.

22. Может оказаться, что правильно сформулированная постановка данной задачи не будет иметь допустимых решений. (Ответ нужно дать для приведенных данных.)

a. Да.

b. Нет.

23. Если бы не было ограничения, оговаривающего 4-часовый рабочий день контролера, и требования к точности, оптимальное решение состояло бы в том, чтобы работала только Финни.

a. Да.

b. Нет.

24. В оптимальном решении требуется, чтобы работали как минимум два из трех контролеров.

a. Да.

b. Нет.

25. Следующие решения являются допустимыми:

a. 4 часа работает Клэр, 4 часа —Финни;

b. 4 часа работает Лотта, 4 часа — Клэр:

c. и первое, и второе.

26. Пусть вариант А решения предполагает X₁ = 4, Х_г = 4, Х_г = 0, а вариант В — X₁ = 3, Х₂ = 4, Х₃ = I. Оба варианта допустимы. Поскольку в случае А проверяется 2000 капсул, а в случае В — 2050, вариант А предпочтительней.

a. Да.

b. Нет.

27. Рассмотрим ограничение 10С+ 15M<=R, где R — параметр. Предположим, что значение R определяется формулой 200(1— е^-0.05А), где А — новая переменная решения. Если подставить это выражение в исходное ограничение, оно примет вид 10С + 15М<= 200( 1 — е^-0.05А). Новое ограничение линейно по переменным С, М и А.

a. Да.

b. Нет.

28. В табличной модели функция ограничения представляется формулой в ячейке ра­бочего листа.

a. Да.

b. Нет.

29. Если в табличной модели существуют ячейки резерва, то для допустимых решений эти ячейки будут содержать неотрицательные значения.

a. Да.

b. Нет.

30. Excel можно использовать для создания табличной модели ЛП, но без средства Поиск решения оптимизировать модель не удастся.

a. Да.

b. Нет.

Ответы

1. Да. 2. Нет. 3. Нет. 4. Нет. 5. Нет. 6. Да. 7. Нет. 8. Да. 9. Да. 10. Да. 11. d. 12. с. 13 d. 14. с. 15. b. 16. d. 17. с. 18. b. 19. с. 20. b. 21. а. 22. b. 23 b. 24. а. 25. b. 26. b. 27. b. 28. а. 29. а. 30. а.

Индивидуальные задания

1. Планирование производства. Компания Swelte Glove производит и продает два изделия. При продаже каждой единицы изделия 1 компания получает прибыль S12, а при продаже единицы изделия 2 — $4. Требования к затратам рабочего времени на производство изделий в трех цехах приводятся в таблице. Начальники цехов оценили, что на следующей неделе ресурс рабочего времени составит в первом цехе 800 ч, в цехе 2 — 600 ч, в цехе 3 — 2000 ч. Предполагая, что компания заинтересована в максимизации прибыли, разработайте мо­дель линейного программирования для данной задачи.

	Затраты рабочего	времени
Цех	Продукт 1	Продукт 2
1 2 3	1 1 2	2 3 3

2. Планирование производства. Вуд Уолкер владеет небольшим мебельным магазином. Он из­готавливает три типа столов: А, В и С. При изготовлении каждого стола необходимо затратить определенное время на производство составных частей, сборку и покраску. Вуд может продать все собранные столы. Кроме того, модель С можно продавать без покраски. Вуд нанял несколько рабочих на условиях неполной занятости, поэтому время, затраченное на изготовление столов, может от недели к неделе меняться. Используя имеющиеся данные, постройте модель ЛП, которая поможет Буду определить ассортимент выпускаемой про­дукции, максимизирующий его прибыль наследующей неделе,

Модель	Изготовление частей, ч	Сборка, ч	Окраска, ч	Удельная прибыль, долл.
A	3	4	5	25
B	1	3	5	20
C	4	5	4	50
Неокрашенные СТОЛЫ C	4	5	0	30
Ресурс рабочего времени	150	200	300

2. Финансовое планирование. Вилли Хенс — президент инвестиционной фирмы, которая управляет инвестиционными портфелями нескольких клиентов. Новый клиент поручает фирме управление своим портфелем в размере S100 000. Клиент хочет ограничиться покупкой акций трех компаний, характеристики которых представлены в таблице. Постройте модель ЛП, которая позволит определить, сколько акций каждой компании должен купить Вилли, чтобы оптимизировать ожидаемых годовой доход.

Акции компании	Цена акции,	Ожидаемый годовой доход	Максимально возможные инвестиции
Gofer Crude	60	7	60 000
Can Oil	25	3	25000
Sloth Petroleum	20	3	30000

4. Задача составления смеси. Дуглас Старр управляет питомником домашних животных Heav enly Hound Kennels, Jnc. Кор.м для собак в питомнике готовится из смеси трех зерновых круп, чтобы обеспечить сбалансированное питание. Соответствующие данные приведены в таблице. Дуглас хочет, чтобы каждая собака потребляла ежедневно не менее 3 унций бел­ков, 1 унции углеводов и не более 0,5 унции жиров. Сколько каждой крупы должна получать собака , чтобы минимизировать затраты ( 16 унций = 1 фунт.)

Крупа	Стоимость I фунта, долл.	Белки,%	Углеводы, %	Жиры, %
A	0,45	62	5	3
В	0,38	55	10	2
С	0,27	36	20	1

5. Задача составления смеси. Компании McNaughton, Inc. производит два вида приправ для мяса, Spicy Diablo и Red Baron. Обе приправы готовятся из двух ингредиентов — А и В, причем рецепты приправ допускают определенную вариативность. Допустимое процент­ное содержание ингредиентов, а также данные о доходах и затратах приводятся в таблице. Можно закупить до 40 кварт ингредиента А и до 30 кварт ингредиента В. Компания в со­стоянии продать все произведенные приправы. Постройте модель ЛП, цель которой — максимизировать чистый доход от продажи приправ.

	Ингредиент
Приправа	А	В	Цена за кварту, долл.
Spicy Diablo Red Baron	не менее 25% не более 75%	не менее 25% произвольно	3,35 2,85
Цена за кварту, S	1,60	2,59

6. Задача составления смеси. У компании Corey Ander's Spice имеются ограниченные запасы трех ингредиентов, из которых изготавливаются приправы. Ингредиенты НВ01, НВ02 и НВСЗ идут на производство двух приправ: куркумы и паприки. Отдел маркетинга сообщил, что компа­ния сможет продать всю произведенную паприку, но не более 1700 бутылок куркумы. Неис­пользованные ингредиенты можно продать на свободном рынке. Текущие цены (S за унцию): НВ01 — 0,60, НВ02 — 0,70, НВ03 — 0,55. Кроме того, компания заключила контракт нa по­ставку 600 бутылок паприки с Wal-Mart. Друтие данные представлены в таблице. Сформули­руйте задачу в виде модели ЛП максимизации дохода.

Ингредиенты
НВ01	HВ02	HB33	Спрос	Цена, долл.
Куркума 4	2	1	1700	3,25
Паприка 3	2	3	Неограничен	2,75
Запас ингредиентов, унции 8 000	9 000	7 000

7. Задача составления смеси. Гай Чанг, администратор зданий и прилегающих территорий университета Готхэма, планирует ранней весной внести удобрения для травы на лужайке. Для нормального роста траве нужны азот, фосфор и калий как минимум в следующих ко­личествах.

Вещество	Минимальное количество, фунты
Азот	10
Фосфор	7
Калий	5

На рынке предлагается три вида минеральных удобрений; содержание требуемых элементов (в фунтах) и цена в расчете на 1000 фунтов представлены в следующей таблице. Гай может ку­пить любое количество каждого из удобрений и смешать их, прежде чем вносить в почву. По­стройте модель ЛП, которая позволит определить, сколько следует купить каждого удобре­ния, чтобы минимизировать затраты.

Удобрение	Содержание азота	Содержание фосфора	Содержание калия	Цена, долл.
I	25	10	5	10
II	10	5	10	8
III	5	10	5	7

8. Планирование производства. В выпуске двух продуктов задействованы три станка. Чтобы выпустить фунт продукта каждый станок должен отработать определенное количество ча­сов. Данные приводятся в таблице. Ресурс рабочего времени для станка 1 составляет 10 ч, для станка 2 — 16 ч и для станка 3 — 12 ч. Удельная прибыль в расчете на 1 фунт составляет $4 для продукта 1 и $3 для продукта 2. Определите переменные решения, сформулируйте данную задачу в виде модели ЛП максимизации прибыли и решите ее.

Количество часов обработки

Станок Продукт 1 Продукт 2

1. 3 2

2. 1 4

3. 5 3

9. Компания Solar Саг владеет заводом, который может выпускать семейные автомобили (седаны), пикапы и спортивные двухместные автомобили (купе). Удельная прибыль, время производствам фиксированные затраты представлены в таблице.

Модель	Удельная прибыль, $	Время производства, ч	Фиксированные затраты, $
Седан	6 000	12	2000000
Пикап	8 000	15	3000000
Купе	11000	24	7000000

Компания к настоящему моменту уже получила заказы на 100 седанов, 200 пикапов и 300 купе, которые она обязана выполнить. Составьте производственный план, который позво­лит как можно быстрее достичь точки безубыточности, т.е. сделать валовой доход равным валовым фиксированным затратам, минимизировав суммарное время производства. Сформулируйте данную задачу в виде модели ЛП и решите се.

10. Анализ безубыточности. Риз Эйлер производит воздухоочистители двух видов: Umidaire и Depollinator. Данные о цене и затратах приводятся в таблице. Фирма Риза уже заключила контракт на поставку 500 Umidaire и хочет определить, какое количество воздухоочистите­лей обоих видов нужно произвести, чтобы достичь безубыточности. Сформулируйте задачу ЛП минимизации затрат и найдите ее решение.

Продукт Цена 1 шт., Переменные затраты на 1 шт., $ Фиксированные затраты,

$ $

Umidaire 450 240 150 000

Depollinator 700 360 240 000

11. Управление портфелем активов. Инвестиционная компания должна определить, куда вложить средства в размере S10 млн. Цель — максимизировать ожидаемый доход в следующем году. Четыре возможных варианта вложения средств представлены в таблице. Компания также приняла решение, что не менее 30% средств должно быть вложено в обыкновенные акции и долгосрочные казначейские облигации и не более 40% — в фонды денежного рынка и муниципальные облигации. Необходимо инвестировать все имеющиеся S10 млн. Сформулируйте задачу ЛП, позволяющую определить, куда и сколько вложить средств, и найдите ее решение.

Варианты инвестирования Ожидаемый доход, Максимально возможная сумма инве-

% стаций, млн. долл.

Обыкновенные акции 8 5

Облигации казначейства 6 7

Фонд денежного рынка 12 2

Муниципальные облигации 9 4

12. Управление сельскохозяйственным производством. Организация управляет четырьмя ферма­ми, производительность которых примерно одинакова. Каждая ферма имеет определенную площадь сельхозугодий, ей требуется определенное количество часов рабочего времени, чтобы ухаживать за растениями и убирать урожай. Данные для предстоящего сезона пред­ставлены в таблице.

Ферма Используемая плошадь, акры Ресурс рабочего времени в месяц, ч

1.  500 1700

1.  900 3000

1.  300 900

2.  700 2200

Организация рассматривает варианты выращивания трех культур, которые отличаются ожидаемой удельной прибылью в расчете на один акр занимаемой ими площади и требуе­мыми трудозатратами, что отражено в следующей таблице.

Культура Максимальная площадь Трудозатраты, часы в месяц Ожидаемая прибыль на акр, $

А 700 2 500

В 800 4 200

C 300 3 300

Общая площадь, выделенная под каждую определенную культуру, ограничена требованиями к уборочной технике. Чтобы поддерживать примерно одинаковую рабочую нагрузку на фер­мах, руководство организации решило, что процентные отношения площадей, занятых опре­деленными культурами, должны быть одинаковы на всех фермах. Однако ферма может вы­ращивать произвольную комбинацию культур, удовлетворяющую всем ограничениям (в том числе и требованию одинаковой нагрузки). Руководство организации хочет узнать, какие площади должны быть выделены под каждую из культур на каждой ферме, чтобы максимизи­ровать ожидаемую прибыль. Сформулируйте задачу в виде модели ЛП и решите ее.

13. Задача составления смеси. Винодел хочет из смеси четырех сортов винограда приготовить три сорта вина. Имеющиеся количества винограда, требования к составу вина и цены, по которым данные вина продаются, приведены в таблице. В частности, сорта винограда 2 и З в сумме должны составлять не менее 75% в смеси для приготовления вина А и не менее 35% в смеси для приготовления вина С. Кроме того, смесь А должна содержать не менее 8% винограда сорта 4, а смесь В — не менее 10% сорта 2 и не более 35% сорта 4. Можно продать все произведенные вина. Постройте модель ЛП, которая позволит наилучшим об­разом использовать выращенный виноград.

Виноград

Вино 1 2 3 4 Цена за галлон

А произвольно не менее 75% 2 и 3 в лю- не менее 8% 80

бой пропорции

В произвольно не менее произвольно не более 35% 50

10%

С произвольно не менее 35% 2 и 3 влю- произвольно 35

бой пропорции

Запас (галлон) 130 200 150 350

14. Задача составления расписания. Ресторан работает 7 дней в неделю. Официанты работают 6 часов в день. Договор с профсоюзом предусматривает, что каждый должен работать 5 дней подряд, а затем 2 дня отдыхать. У всех официантов одинаковый еженедельный оклад. Требо­вания штатного расписания представлены в таблице, Предполагая, что эти требования цик­лически повторяются, а также игнорируя тот факт, что число нанятых официантов должно быть целым, постройте модель ЛП, которая позволит руководству составить расписание. удовлетворяющее заданным требованиям при минимальных затратах, и найдите решение по­лученной задачи.

День недели Минимальное необходимое количество часов работы официантов

Понедельник 150

Вторник 200

Среда 400

Четверг 300

Пятница 700

Суббота 800

Воскресенье 300

15. Планирование производства. Завод может производить четыре вида изделий А, В, С и D в произвольных комбинациях. По технологии каждое изделие обрабатывается четырьмя машинами (время обработки в минутах в пересчете на фунт готовой продукции показано в таблице). Каждая машина может работать 60 ч в неделю. Изделия могут продаваться по следующим ценам: А — $9, В — $7, С —$6, D —$5 за фунт. Переменные затраты на оплату труда составляют S2 в час для машин 1 и 2 и S3 в час для машин 3 и 4. Материальные затра­ты составляют S4 на каждый фунт продукции А и $1 на каждый фунт продукции В, С и D. Сформулируйте задачу ЛП, максимизирующую прибыль при заданном максимальном спросе для каждого вида продукции и решите ее.

Машина
Продукция	1	2		3	4	Максимальный спрос
А	5	10		6	3	400
В	3	6		4	8	100
С	4	5		3	3	150
D	4	2		1	2	500

16. Планирование производства. В данном месяце необходимо выполнить четыре вида работ: А, В, С и D. Каждый вид работ может выполняться любым из трех цехов. Время, требуемое на вы­полнение конкретного задания определенным цехом, стоимость часа работы каждого цеха и рес)-рс рабочего времени на данный месяц в каждом цехе представлены в таблице. Каждое задание можно распределить по нескольким цехам в любой пропорции. Например, четверть задания А может быть выполнена за 8 ч цехом 1, а треть задания С — за 9 ч цехом Необхо­димо распределить выполнение заданий по цехам (сколько часов каждый цех должен выпол­нять каждое определенное задание), чтобы минимизировать затраты на выполнение всех за­даний. Определите переменные решения, сформулируйте задачу ЛП и решите ее.

		Время,	ч		Стоимость работы	часа
Цех	А	В	С	D			Ресурс рабочею времени, ч
1	32	151	72	118	89		160
2	39	147	61	126	81		160
3	46	155	57	121	84		160

17. Небольшая фирма использует два процесса для изготовления двух продуктов: жидкости для стартера и жидкости дня зажигалок. Руководство фирмы пытается решить, сколько часов уде­лить каждому из процессов. Данные о процессах (в пересчете на один час) приведены в таблице. Пусть х₁ и х₂ — число часов, выделенных компанией на проведение процессов I и 2 соответственно. Федеральной программой компании выделено 300 единиц керосина и 450 единиц бензина. Согласно торговым соглашениям компания должна произвести не менее 600 единиц жидкости для стартера и 225 единиц жидкости для зажигалок. Почасовая прибыль. получаемая при проведении процесса 1 и 2, составляет $450 и $390 соответственно. Сформу­лируйте задачу в виде модели ЛП максимизации прибыли и решите ее.

	Исходные	вещества	Конечные продукты
Процесс	Керосин	Бензин	Жидкость для стартеров Жидкость для зажигалок
1 2	3 12	9 6	15 6 9 24

18. У компании Slick Oil есть три склада, с которых она может доставлять продукцию трем розничным торговым точкам. Спрос на продукт Gunkout составляет в первой точке 100 ящиков, во второй — 250, в третьей — 150. Запас данного продукта на складе 1 составляет 50 ящиков, на складе 2— 275 и на складе 3 — 175. Затраты на транспортировку одного ящика продукта Gunkout со складов в торговые точки представлены в таблице. Постройте модель ЛП, позволяющую определить, сколько ящиков следует доставить в каждую торговую точку с каждого склада, чтобы удовлетворить спрос с минимальными затратами.

Торговые точки

Склад 1 2 3

1 5 7 6

2 8 9 10

3 4 3 11

19. Компания HiTech управляет тремя Internet-серверами, каждый из которых может выполнять до трех типов запросов: обращения к Web-страницам, запросы к базе данных и запросы к системе электронной коммерции. Проше всего обрабатывать обращения к Web-страницам. Компания оценивает пропускную способность своих серверов, исходя из того, сколько обращений к Web-страницам они могут обработать в течение дня. Другие типы запросов обрабатывать сложнее, и HiTech учитывает обработку каждого такого запроса как выполнение нескольких обращений к Web-страницам. Например, сервер 1 может обработать 230 тысяч обращений к Web-страницам в день, но обработка одного запроса к системе электронной коммерции для данного сервера эк­вивалентна обработке двух обращений к Web-страницам. Поэтому для запросов к системе элек­тронной коммерции пропускная способность сервера 1 составит всего 115 тысяч запросов в день. Общая пропускная способность серверов, выраженная в эквивалентах обращений к Web-страницам. представлена в таблице. (НПО означает, что на данном сервере нет программного обеспечения, необходимого для обработки запросов соответствующего типа.)

Сервер

Обработка запроса в эквиваленте количества обращений к Web-страницам	1	2	3
Запрос к Web-странице	1	1	1
Запрос к базе данных	2.5	НПО	4
Запрос к системе электронной коммерции	2	5	НПО
Пропускная способность сервера, тыс. обращений к Web-страницам/день	230	360	160

Компания HiTech ожидает, что максимальный ежедневный спрос на запросы различных типов будет таким.