Решение типовых примеров
П р и м е р ы. Найти частные производные 1-го порядка заданных функций..
1.
.
.
.
2.
.
;
.
Задачи 141–160. Исследовать на экстремум заданные функции.
141.
.
142.
.
143.
.
144.
.
145.
.
146.
.
147.
.
148.
.
149.
.
150.
.
151.
.
152.
.
153.
.
154.
.
155.
.
156.
.
157.
.
158.
.
159.
.
160.
.
Решение типового примера
Найти
экстремум функции
,
если
.
Р е ш е н и е.
1.
Областью определения функции являются
все точки координатной плоскости
.
2. Находим частные производные первого порядка:
;
.
Приравняем частные производные к нулю, решив полученную систему, получим критическую точку
Точка
–
стационарная, подозрительная на
экстремум.
3. Находим частные производные второго порядка:
;
;
;
.
Таким образом получаем
;
;
.
Составим
выражение
.
Так
как
следовательно точка
не является точкой экстремума.
Тема 6. Неопределенный интеграл
Задачи 161–180. Найти неопределенные интегралы и результаты проверить дифференцированием.
161.
а)
б)
;
в)
.
162.
а)
;
б)
;
в)
.
163.
а)
б)
в)
164.
а)
б)
в)
165.
а)
б)
в)
166.
а)
б)
в)
167.
а)
б)
в)
168.
а)
б)
в)
169.
а)
б)
в)
170.
а)
б)
в)
171.
а)
б)
в)
172.
а)
б)
в)
173.
а)
б)
в)
174.
а)
б)
в)
175.
а)
б)
в)
176.
а)
б)
в)
.
177.
а)
б)
в)
178.
а)
б)
в)
179.
а)
б)
в)
180.
а)
б)
в)
Решение типовых примеров
При решении примеров рекомендуется использовать свойства неопределенного интеграла, таблицу интегралов, применять методы замены переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
Основная таблица интегралов
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
П р и м е р ы. Найти неопределенные интегралы и результаты проверить дифференцированием.
=
=
=
При
решении примера использовались свойства
степени:
2.
=
При решении примера применялся метод замены переменной.
.
3.
=
При решении примера применялся метод интегрирования по частям.
Тема 7. Определенный интеграл и его применение для вычисления площадей плоских фигур
Задачи 181–200. Вычислить определенные интегралы.
181.
а)
б)
в)
182.
а)
б)
в)
183.
а)
б)
в)
184.
а)
б)
в)
185.
а)
б)
в)
186.
а)
б)
в)
187.
а)
б)
в)
188.
а)
б)
в)
189.
а)
б)
в)
190.
а)
б)
в)
191.
а)
б)
в)
192.
а)
б)
в)
193.
а)
б)
в)
194.
а)
б)
в)
195.
а)
б)
в)
196.
а)
б)
в)
197.
а)
б)
в)
198.
а)
б)
в)
199.
а)
б)
в)
200.
а)
б)
в)