Правила дифференцирования
Если С – постоянная
величина и функции
имеют производные, то:
1.
.
2.
а)
.
б)
.
3.
.
4.
.
5.
6.
Производная сложной функции
вычисляется
по формуле
.
П р и м е р ы. Найти производные заданных функций:
.
;
2.
.
.
3.
.
.
Задача 101–120. Провести полное исследование заданных функций и построить их графики.
101.
|
102.
|
103.
|
104.
|
105.
|
106.
|
107.
|
108.
|
109.
|
110.
|
111.
|
112.
|
113.
|
114.
|
115.
|
116.
|
117.
|
118.
|
119.
|
120.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Решение типового примера
П р и м е р .
Исследовать функцию
и пост -роить ее график.
1. Область определения
функции:
.
2. Так как функция является многочленом, следовательно она непрерывна.
3. Исследуем на четность и нечетность
.
Функция не является ни четной, ни
нечетной.
4. Для определения интервалов монотонности и точек экстремума находим первую производную функции
;
.
.
Это критические точки. Результаты
исследования знака производной и выводы
сведем в таблицу:
-
-4
2
+
0
–
0
+
8
mах
min
Представим
в виде произведения
.
Определим знаки
на
каждом интервале:
.
5. Для определения интервалов выпуклости и вогнутости, точек перегиба найдем вторую производную функции:
;
.
Исследуем
поведение знака
в окрестности точки
.
-
–1
–
0
+
выпукла
вогнута
Точка
–
точка перегиба.
6. Найдем несколько дополнительных точек графика функции
.
7. По результатам исследования строим график.
Рис. 1.
Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных
Задачи 121 –140. Найти частные производные 1–го порядка функции двух переменных.
121. а)
|
б)
|
122. а)
|
б)
|
123. а)
|
б)
|
124. а)
|
б)
|
125. а)
|
б)
|
126. а)
|
б)
|
127. а)
|
б)
|
128. а)
|
б)
|
129. а)
|
б)
|
130. а)
|
б) |
131. а)
|
б)
|
132.
а)
|
б)
|
133. а)
|
б)
|
134. а)
|
б)
|
135. а) |
б)
|
136. а)
|
б)
|
137. а)
|
б)
|
138. а)
|
б)
|
139. а)
|
б)
|
140. а) |
б)
|
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.