Тема 1. Элементы векторной алгебры
Задачи 1–20. Даны координаты точек А,В,С,D. Найти:
1)
разложение вектора
по базису
2)
модули векторов
3) проекцию вектора
на вектор
;
4) внутренний угол А треугольника АВС;
5) проверить коллинеарность и перпендикулярность векторов
и
1. А(3;4;5); В(-1;2;3); С(4;-1;0); D(2;1;-2).
2. А(-2;-3;2); В(-1;-5;4); С(9;-1;12); D(6;1;10).
3. А(2;-1;4); В(3;-3;-2); С(13;1;6); D(10;3;4).
4. А(-8;3;-1); В(-7;1;1); С(3;5;9); D(0;7;7).
5. А(3;1;-2); В(4;-1;0); С(14;3;8); D(11;5;6).
6. А(0;2;-10); В(1;0;-8); С(11;4;0); D(8;6;-2).
7. А(-1;-2;-8); В(0;-4;-6); С(10;0;2); D(7;2;0).
8. А(1;-4;0); В(2;-6;2); С(12;-2;10); D(9;0;8).
9. А(-5;0;1); В(-4;-2;3); С(6;2;11); D(3;4;9).
10. А(4;-2;5); В(8;2;3); С(6;9;-5); D(4;0;6).
11. А(3;3;-4); В(7;7;-5); С(5;14;-13) D(3;5;-2).
12. А(-2;0;-2); В(2;4;-4); С(0;11;-12); D(-2;2;-1).
13. А(0;4;3); В(4;8;1); С(2;15;7); D(0;6;4).
14. А(-4;2;-1); В(0;6;-3); С(-2;13;-11); D(-4;4;0).
15. А(-1;1;-5); В(3;5;-7); С(1;12;-15); D(-1;3;-4).
16. А(-3;-6;2); В(1;-2;0); С(-1;5;-8); D(-3;-4;3).
17. А(1;-4;0); В(5;0;-2); С(3;7;-10); D(1;-2;1).
18. А(5;-1;-4); В(9;3;-6); С(7;10;-14); D(5;1;-3).
19. А(2;-3;1); В(6;1;-1); С(4;8;-9); D(2;-1;2).
20. А(-4;5;-5); В(-3;3;-3); С(7;7;5); D(4;9;3).
Решение типового примера
Пусть координаты точек : А(-3;4;-3); В(-2;2;1); С(8;6;7); D(5;8;5).
1.Произвольный
вектор
может быть разложен по базису
следующим образом:
,
где
– проекции вектора
на координатные оси ОХ,ОУ,ОZ,
a
–единичные
векторы, направления которых совпадают
с направлением осей ОХ,ОУ,ОZ.
Проекции вектора
на оси находим следующим образом: из
координат конца вектора вычитаем
координаты начала вектора. Следовательно,
координаты вектора
(–2+3;
2–4; –1+3);
(1;–2;2),
2
(2;–4;4).
Координаты вектора
(–3–8;
4–6; –3–7);
(–11;–2;–10); 3 (–33;–6;–30); 2 +3 (2–33;–4–6;4–30);
2
+3
(–31;–10;–26);
2
+3
=–31
–10
–26
.
2. Модуль вектора
вычисляется по формуле:
.
(1;–2;2);
(11;2;10);
(8:4;8).
Тогда
=3;
=15;
=12.
3. Проекция вектора
(2
–
)
на вектор
равна скалярному произведению этих
векторов, деленному на модуль вектора
.
(10;4;8);
2
(20;8;16);
2
–
(19;10;14);
=
.
4. Для того, чтобы найти косинус угла между векторами, нужно скалярное произведение этих векторов поделить на произведение их модулей.
Угол
А – это угол между векторами
и
.
.
5. Условие коллинеарности векторов: соответствующие координаты должны быть пропорциональны.
2
+3
(–31;–10;–26);
2
(19;10;14);
.
Значит данные векторы не коллинеарны.
Условие перпендикулярности двух векторов: их скалярное произведение должно быть равно нулю.
=31∙
19-10∙ 10-26 ∙14≠0, следовательно, данные
векторы не перпендикулярны.
Тема 2. Элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве
Задача 21–40. Даны координаты вершин треугольника АВС.
Найти:
1) длину стороны АВ;
2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
3) угол В (в радианах с точностью до двух знаков);
4) уравнение высоты СD и ее длину;
5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СD;
6) уравнение прямой, проходящей через точку К, параллельно стороне АВ.
21. А(-7;4); В(5;-5); С(3;9). |
22. А(0;3); В(12;-6); С(10;8). |
23.А(-5;9); В(7;0); С(5;14). |
24.А(4;1); В(16;-8); С(14;6). |
25.А(-3;10); В(9;1); С(7;15). |
26.А(-4;12); В(8;3); С(6;17). |
27.А(-6;8); В(6;-1); С(4;13). |
28.А(3;6); В(15;-3); С(13;11). |
29.А(-10;5); В(2;-4); С(0;10). |
30.А(-2;7); В(10;-2); С(8;12). |
31.А(-1;4); В(11;-5); С(15;17). |
32.А(2;5); В(14;-4); С(18;18). |
33.А(-4;10); В(8;1); С(12;23). |
34.А(1;0); В(13;-9); С(17;13). |
35.А(-9;6); В(3;-3); С(7;19). |
36.А(0;2); В(12;-7); С(16;15). |
37.А(- 8;-3); В (4;-12);С(8;10). |
38.А(-5; 7);В (7; -2); С(11; 20). |
39.А(-12;-1);В(0;-10); С(4;12). |
40.А (-10; 9); В (2; 0);С (6; 22). |