1.3. Вероятностная задача инвестирования

Некто планирует инвестировать С тысяч долларов через фондовую биржу в течение последующих и лет. Инвестиционный план состоит в покупке акций в начале года и продаже их в конце этого же года. Накопленные деньги затем могут быть снова инвестированы (все или их часть) в начале следующего года. Степень риска инвестиции представлена тем, что прибыль имеет вероятностный характер. Изучение рынка свидетельствует о том, что прибыль от инвестиции зависит от m условий рынка (благоприятных или неблагоприятных). При этом условие i приводит к прибыли r_i с вероятностью р_i, i=1, 2, ..., т. Как следует инвестировать С тысяч долларов для наибольшего накопления к концу п лет?

Обозначим

x_i — сумма денежных средств, доступных для инвестирования в начале i-го года (x₁=C),

у_i — сумма реальной инвестиции в начале i-го года (у_i < х_i).

Элементы модели ДП можно описать следующим образом.

Этап i представляет i-й год инвестирования.

Альтернативами на этапе i являются величины y_i.

Состояние системы на этапе i описывается величиной х_i.

Пусть f_i(x_i) — максимальная ожидаемая сумма поступления денежных средств за года от i до n при условии, что в начале i-го года имеется сумма х_i. Для k-го условия рынка имеем следующее.

х_i+1=(1+r_k)y_i+(х_i–у_i)=r_ky_i+x_i, k=1,2,...,m.

Так как вероятность k–го условия рынка равна р_k, рекуррентное уравнение динамического программирования имеет следующий вид.

где f_n+1(x_n+1)= x_n+1, так как после n-го года инвестиции нет. Отсюда следует, что

поскольку функция в фигурных скобках является линейной по у_n и, следовательно, достигает своего максимума при у_n=х_n.

1.4. Максимизация вероятности достижения цели

В предыдущем разделе рассматривалась задача, связанная с максимизацией ожидаемой прибыли. Иным полезным критерием для рассмотренной задачи является максимизация вероятности достижения определенного уровня дохода. Продемонстрируем этот подход на примере модели инвестирования, которая описана в разделе 1.3.

Используя обозначения из раздела 1.3, оставим без изменения определение этапа i, альтернативы y_i и состояния x_i. Эти модели отличаются только определением критерия; здесь нашей целью является максимизация вероятности достижения некоторой накопленной денежной суммы S по истечении n лет. С этой точки зрения определим функцию f_i(x_i) — вероятность накопления суммы S, если в начале i-го года имеются денежные средства в сумме х_i и для последующих лет i, i+1,..., п используется оптимальное инвестирование.

Рекуррентное уравнение динамического программирования имеет вид

Рекуррентная формула основана на формуле условной вероятности

В нашем случае f_i+1(x_i+r_kу_i) играет роль вероятности Р{А | Bj}.

1.5. Классическая задача экономичного размера заказа

Простейшие модели управления запасами характеризуются постоянным во времени спросом, мгновенным пополнением запаса и отсутствием дефицита. Введем обозначения:

у — объем заказа (количество единиц продукции),

D — интенсивность спроса (измеряется в единицах продукции на единицу времени),

to — продолжительность цикла заказа (измеряется во временных единицах).

Уровень запаса изменяется в соответствии с функцией, показанной на рис. 11.1, где использованы приведенные выше обозначения. Заказ объема у единиц размещается и пополняется мгновенно, когда уровень запаса равен нулю. Затем запас равномерно расходуется с постоянной интенсивностью спроса D. Продолжительность цикла заказа для этого примера равна

Средний уровень запаса определяется соотношением

Оптимальная стратегия управления запасами для рассмотренной модели формулируется следующим образом:

В действительности пополнение запаса не может произойти мгновенно в момент размещения заказа, как предполагалось ранее. Для большинства реальных ситуаций существует положительный срок выполнения заказа L (временное запаздывание) от момента его размещения до реальной поставки, как показано на рис. 1. В этом случае точка возобновления заказа имеет место, когда уровень запаса опускается до LD единиц.

Рисунок 1

На рис. 1 представлено изменение уровня запаса во времени в предположении, что срок выполнения заказа L меньше продолжительности цикла заказа t"₀, что в общем случае выполняется не всегда. В противном случае определяется эффективный срок L_e выполнения заказа в виде

где п— наибольшее целое, не превышающее L/t*₀. Такое решение оправдывается тем, что после п циклов (длиной t'_o каждый) ситуация управления запасами становится такой же, как если бы интервал между размещением одного заказа и получением другого был равен L_e. Следовательно, точка возобновления заказа имеет место при уровне запаса L_eD единиц продукции, и стратегия управления запасами может быть переформулирована следующим образом.

Заказывать у* единиц продукции, как только уровень запаса опускается до LeD единиц.