
- •Теория измерений конспект лекций Основные понятия.
- •Второй постулат
- •Третий постулат
- •1. Классификация измерений.
- •2. Методы измерений.
- •2.1 Термины и определения в соответствие с рмг 29-99
- •2.2 Методы измерения не включённые в рмг 29-99
- •2.3 Некоторые методы, определяющие стратегию измерений
- •3. Общие вопросы теории погрешностей
- •3.1 Виды погрешностей и особенности терминологии в соответствие с рмг
- •3.1.1 Погрешность средств измерений и погрешность результата измерений.
- •3.2 Термины, позволяющие нормировать погрешности средств измерений.
- •3.2.1 Абсолютная, относительная и приведённая погрешности средств измерений.
- •3.2.2 Аддитивные и мультипликативные погрешности.
- •3.3 Методы нормирования погрешностей средств измерений
- •3.3.1 Класс точности средств измерений
- •3.3.2 Обозначения классов точности средств измерений.
- •3.4.Расчёт оценки инструментальной статической погрешности результата измерения по паспортным данным используемого средства измерений.
- •3.4.1 Вычисление погрешности при различном нормировании класса точности
- •3.4.2 Правила округления значений погрешности и результата измерения.
- •4. Некоторые сведения из теории вероятностей
- •4.1 Теорема Бернулли
- •4.2 Неравенство Чебышёва, закон больших чисел
- •4.3 Нормальный закон распределения
- •4.3.1 Понятие кривой распределения
- •4.3.2Свойства нормальных кривых распределения
- •4.4 Деформация законов распределения при суммировании случайных величин. Центральная предельная теорема.
- •4.5 Другие виды законов распределения
- •4.5.1 Прямоугольное (равномерное) распределение
- •4.5.2 Арксинусоидальные распределения
- •4.5.3 Экспоненциальные распределения
- •4.5.4 Класс двухмодальных распределений
- •4.5.5 Семейство законов распределения Стьюдента
- •4.5.6 Закон распределения Коши
- •4.6 Вероятностные оценки ширины распределения
- •4.6.1 «Предельная», или «максимальная», оценка случайной погрешности.
- •4.6.2 Квантильные оценки случайной погрешности.
- •5. Статические измерения с многократными наблюдениями.
- •5.1 Достоверность определения доверительного значения погрешности по экспериментальным данным.
- •5.2 Среднее квадратическое отклонение случайной величины. Закон сложения случайных погрешностей. Связь точности с числом наблюдений.
- •5.3 .Статистические веса
- •5.4 Обнаружение промахов и грубых погрешностей
- •5.5 Способы, группирования данных. Методы установления вида закона распределения.
- •5.6 Практические методы проверки нормальности распределения случайных погрешностей
- •5.7 Систематические погрешности
- •5.7.1 Учёт систематических погрешностей при оценке результатов статистической обработки многократных отсчётов
- •5.7.2 Методы оценки центра распределения и их сравнительная эффективность
- •5.8 Интервальные оценки погрешностей
- •5.8.1 Доверительные интервалы
- •5.8.2 Толерантные интервалы.
- •5.9 Обработка результатов прямых измерений с многократными наблюдениями
- •5.9.1 Результат измерения, оценка его среднего квадратического отклонения и доверительных границ случайной погрешности
- •5.9.2 Доверительные границы неисключённой систематической погрешности
- •5.9.3 Граница погрешности и форма записи результата измерений
- •6. Косвенные измерения
- •6.1 Предварительные замечания и классификация
- •6.2 Определение результатов измерения и оценивание погрешностей при косвенных измерениях
- •6.2.1 Общие положения
- •6.2.2 Косвенные измерения при линейной зависимости
- •6.2.3 Косвенные измерения при нелинейной зависимости
- •6.2.4 Метод приведения
- •7. Динамические погрешности
- •7.1 Методы оценки динамических погрешностей
- •7.2 Простейшая оценка динамических погрешностей при использовании аналоговых средств регистрации
- •8. Организация и планирование измерительных процедур
- •8.1 Изменение погрешности средств измерения во время их эксплуатации.
- •8.2 Метрологическая аттестация нестандартизованных средств измерения
- •8.2.1 Условия проведения эксперимента и его организация
- •8.2.2 Определение значений метрологических характеристик
- •8.3 Разработка методик выполнения измерений.
5.3 .Статистические веса
Допустим, что одним и тем же методом с одинаковой степенью точности выполнено k серий измерений. В первой серии число измерений n1, во второй – n2, и т.д., в k-ой - nk если каждое измерение характеризуется погрешностью , то погрешность среднего арифметического для серии с номером i будет в соответствии с формулой (13)
Очевидно, что если в одной серии сделано в четыре раза больше измерений, чем в другой, то погрешность результата одной серии будет соответственно в два раза меньше.
Если мы захотим для повышения точности результата усреднять его по средним значениям для обеих серий, то должны учитывать то обстоятельство, что один результат получен с вдвое меньшей погрешностью. С этой целью вводится понятие статистического веса или просто веса наблюдений. В приведенном примере за статистический вес P следует принять число, пропорциональное количеству наблюдений, выполненных в серии, в этом случае выражение для статистического веса серии измерений с номером i будет:
здесь K=k2 , k - количество серий измерений
Если имеется ряд результатов измерений, вообще выполненных в разных условиях, причем для каждого результата известна средняя квадратическая погрешность i , то и в этом случае можно для совместной обработки результатов приписать им соответствующие статистические веса Pi положив также
Здесь В - произвольное число. Оно обычно выбирается таким, чтобы Pi. были по возможности небольшими целыми числами. Часто бывает, что i, заранее неизвестны и отдельным измерениям приписываются веса на основании разного рода качественных соображений, связанных, например, с квалификацией наблюдателей, производивших отдельные измерения, различием в точности измерительных инструментов, с которыми они производились, и т.п.
Введение статистических весов, определенных на глаз, разумеется нельзя считать строгим приемом, однако он дает возможность хоть как-то использовать всю совокупность наблюдений. Следует иметь в виду, что если веса отдельных наблюдений различаются в 10 и более раз (i и k различаются более чем в три раза), то обычно лучше просто отбросить из рассмотрения наблюдения с малыми весами, так как их учет может только испортить хорошие результаты.
Если нам известна
совокупность ряда результатов xi
с
соответствующими им статистическими
весами Pi,
то за наивероятнейшее значение измеряемой
величины следует принять уже не среднее
арифметическое, а взвешенное среднее,
которое также обозначим
Разумеется, если P1=P2=…=Pn , то выражение превращается в формулу для среднего арифметического.
Среднюю квадратическую
погрешность для
можно получить из выражения
При выборе нужного числа измерений предполагаем, что систематическая погрешность метода достаточно мала.
5.4 Обнаружение промахов и грубых погрешностей
Промахи и грубые погрешности ( разной литературе этот термин трактуется по разному) - это аномальные результаты измерений, которые не принадлежат рассматриваемой генеральной совокупности и нарушают однородность выборки. Промахи нужно обнаруживать и исключать. Признаками наличия промахов является резкое искажение симметричности функции плотности вероятностей, нарушение ее монотонности.
В математической
статистике существует несколько
критериев проверки возможности исключения
промахов, например критерии Романовского,
Ирвина, Граббса. Задача решается
статистическими методами, основанными
на том, что распределение, к которому
относится рассматриваемая группа
наблюдений, можно считать нормальным.
При использовании критерия Романовского-
первоначально по выборке вычисляют
среднее арифметическое
и с. к. о.
без учета члена ряда, предполагаемого
как промах рассчитывают :
или
где x1 и xn – первый и последний члены ранжированного ряда.
Затем для заданного уровня значимости и объема выборки п по табл. находят коэффициент t. Если t>t , то с вероятностью Р=1- проверяемый член можно из выборки исключить. Аналогично для
где xn - член ряда, предполагаемый как промах, значение которого сравнивается с табличным. Указанные таблицы приводятся в литературе по мат статистике или в книгах: С.Г.Рабинович Погрешности измерений. Л.Энергия 1978; Е.П.Осадчий, В.И.Карпов Методы проведения эксперимента при проектировании измерительных элементов систем автоматики и телемеханики. Пензенский политехнический институт. Учебное пособие. Пенза 1988
В измерительной
технике предлагаются различные правила
обнаружения и исключения аномальных
результатов измерения. Простейшим
.является «правило 3»,при
котором все
рассматриваются как промахи и исключаются.
Все рассмотренные
рекомендации при установлении границ
не учитывают вид закона распределения
экспериментальных данных. Исходя из
предположения о нормальности. .Однако
результаты исследований последнего
десятилетия показывают, что границы
должны быть функциями той или иной
характеристики вида закона распределения.
Действительно, для такого ограниченного
распределения как равномерное, весь
диапазон которого заключен в границах
3,
значение
уже является промахом; при нормальном
же распределении это .значение лежит
внутри границ промахов. В работах
П.В.Новицкого предложен критерийt,
где
;
-эксцесс
распределения (характеристика вида
распределения). Для нормального закона
=3
и t=3,
т.е. приходим к «правилу3».