5.3 .Статистические веса

Допустим, что одним и тем же методом с одинаковой степенью точности выполнено k серий измерений. В первой серии число измерений n₁, во второй – n₂, и т.д., в k-ой - n_k если каждое измерение характеризуется погрешностью , то погрешность среднего арифметического для серии с номером i будет в соответствии с формулой (13)

Очевидно, что если в одной серии сделано в четыре раза больше измерений, чем в другой, то погрешность результата одной серии будет соответственно в два раза меньше.

Если мы захотим для повышения точности результата усреднять его по средним значениям для обеих серий, то должны учитывать то обстоятельство, что один результат получен с вдвое меньшей погрешностью. С этой целью вводится понятие статистического веса или просто веса наблюдений. В приведенном примере за статистический вес P следует принять число, пропорциональное количеству наблюдений, выполненных в серии, в этом случае выражение для статистического веса серии измерений с номером i будет:

здесь K=k² , k - количество серий измерений

Если имеется ряд результатов измерений, вообще выполненных в разных условиях, причем для каждого результата известна средняя квадратическая погрешность _i , то и в этом случае можно для совместной обработки результатов приписать им соответствующие статистические веса P_i положив также

Здесь В - произвольное число. Оно обычно выбирается таким, чтобы P_i. были по возможности небольшими целыми числами. Часто бывает, что _i, заранее неизвестны и отдельным измерениям приписываются веса на основании разного рода качественных соображений, связанных, например, с квалификацией наблюдателей, производивших отдельные измерения, различием в точности измерительных инструментов, с которыми они производились, и т.п.

Введение статистических весов, определенных на глаз, разумеется нельзя считать строгим приемом, однако он дает возможность хоть как-то использовать всю совокупность наблюдений. Следует иметь в виду, что если веса отдельных наблюдений различаются в 10 и более раз (_i и _k различаются более чем в три раза), то обычно лучше просто отбросить из рассмотрения наблюдения с малыми весами, так как их учет может только испортить хорошие результаты.

Если нам известна совокупность ряда результатов x_i с соответствующими им статистическими весами P_i, то за наивероятнейшее значение измеряемой величины следует принять уже не среднее арифметическое, а взвешенное среднее, которое также обозначим

Разумеется, если P₁=P₂=…=P_n , то выражение превращается в формулу для среднего арифметического.

Среднюю квадратическую погрешность для можно получить из выражения

При выборе нужного числа измерений предполагаем, что систематическая погрешность метода достаточно мала.

5.4 Обнаружение промахов и грубых погрешностей

Промахи и грубые погрешности ( разной литературе этот термин трактуется по разному) - это аномальные результаты измерений, которые не принадлежат рассматриваемой генеральной совокупности и нарушают однородность выборки. Промахи нужно обнаруживать и исключать. Признаками наличия промахов является резкое искажение симметричности функции плотности вероятностей, нарушение ее монотонности.

В математической статистике существует несколько критериев проверки возможности исключения промахов, например критерии Романовского, Ирвина, Граббса. Задача решается статистическими методами, основанными на том, что распределение, к которому относится рассматриваемая группа наблюдений, можно считать нормальным. При использовании критерия Романовского- первоначально по выборке вычисляют среднее арифметическое и с. к. о. без учета члена ряда, предполагаемого как промах рассчитывают :

или

где x₁ и x_n – первый и последний члены ранжированного ряда.

Затем для заданного уровня значимости  и объема выборки п по табл. находят коэффициент t_. Если t>t_ , то с вероятностью Р=1- проверяемый член можно из выборки исключить. Аналогично для 

где x_n - член ряда, предполагаемый как промах, значение которого сравнивается с табличным. Указанные таблицы приводятся в литературе по мат статистике или в книгах: С.Г.Рабинович Погрешности измерений. Л.Энергия 1978; Е.П.Осадчий, В.И.Карпов Методы проведения эксперимента при проектировании измерительных элементов систем автоматики и телемеханики. Пензенский политехнический институт. Учебное пособие. Пенза 1988

В измерительной технике предлагаются различные правила обнаружения и исключения аномальных результатов измерения. Простейшим .является «правило 3»,при котором все рассматриваются как промахи и исключаются.

Все рассмотренные рекомендации при установлении границ не учитывают вид закона распределения экспериментальных данных. Исходя из предположения о нормальности. .Однако результаты исследований последнего десятилетия показывают, что границы должны быть функциями той или иной характеристики вида закона распределения. Действительно, для такого ограниченного распреде­ления как равномерное, весь диапазон которого заключен в границах 3, значение уже является промахом; при нормальном же распределении это .значение лежит внутри границ промахов. В работах П.В.Новицкого предложен критерийt, где ; -эксцесс распределения (характеристика вида распределения). Для нормального закона =3 и t=3, т.е. приходим к «правилу3».