5.2 Среднее квадратическое отклонение случайной величины. Закон сложения случайных погрешностей. Связь точности с числом наблюдений.

Среднее квадратическое отклонение  случайной величины (сокращенно с. к. о.). Это положительное значение квадратного корня из ее дисперсии

где D — дисперсия, т. е. второй центральный момент случайной величины, а р(х) — плотность распределения, X_ц – координата центра распределения.. Для определения оценки дисперсии по экспериментальным данным пользуются соотношением

где x_i—значения отдельных отсчетов; п—объем выборки.

Отсюда оценка с. к. о. определяется как

Основным достоинством оценки разброса случайных величин средним квадратическим значением  является возможность определения дисперсии суммы статистически независимых величин независимо от разнообразия законов распределения каждой из суммируемых величин и деформации законов распределения при образовании композиций.

Таким образом для того, чтобы отдельные составляющие погрешности средств измерений можно было суммировать расчётным путём, они должны быть предварительно представлены своими средними квадратическими значениями , а не максимальными _m или доверительными _д значениями. При этом открывается возможность расчётным путём не только складывать любое число составляющих погрешности, что необходимо при анализе точности косвенных измерений или сложных измерительных устройств, но и достаточно точно вычитать погрешности, что необходимо при синтезе методов измерений или сложных устройств с заданной результирующей погрешностью. Действительно, если , то. Это правомерно для независимых случайных величин.

Из предыдущего следует, что . В случае сложения не двух, а большего числа дисперсий или с.к.о. независимых случайных величин закон сложения будет таким же. Следует обратить внимание на то, что как вы уже убедились, для нахождения суммарной погрешности следует складывать не сами погрешности, а их квадраты. В том случае. Если мы складываем вероятности, то закон сложения будет тем же..

Из закона сложения погрешностей следуют два очень важных вывода. Первый относится к роли каждой из погрешностей в общей погрешности результата. Он состоит в том, что значение отдельных погрешностей очень быстро падает по мере их уменьшения. Поясним сказанное примером: пусть X и Y - два слагаемых, определенных со средними квадратическими погрешностями _x и _y , причем известно, что _y. в два раза меньше, чем _x. Тогда погрешность суммы Z=X+Y будет

Откуда . Следовательно, если одна из погрешностей в два раз меньше другой, то общая погрешность возросла за счет этой меньшей погрешности всего на 10%, что обычно играет очень малую роль. Это означает, что если мы хотим повысить точность измерений величины Z, то нам нужно в первую очередь стремиться уменьшить ту погрешность измерения, которая больше, т.е. погрешность измерения величины X. Если оставим точность измерения Х неизменной, то, как бы мы ни повышали точность измерения слагаемого Y, нам не удастся уменьшить погрешность конечного результата измерений величины Z более чем на 10%.

Этот вывод всегда нужно иметь в виду, и для повышения точности измерений в первую очередь уменьшать погрешность, имеющую наибольшее значение. Конечно, если слагаемых много, а не два, как в нашем примере, то и малые погрешности могут внести заметный вклад в суммарную погрешность.

Если нужная нам величина Z; является разностью двух независимо измеряемых величин Х и Y, то из выражения для суммы с.к.о. следует, что ее относительная погрешность

где X, Y, Z – погрешности измерений величин X, Y, Z.

Очевидно, что она будет тем больше, чем меньше , и относительная погрешность возрастает до бесконечности, еслиX стремиться к Y.

Это означает, что невозможно добиться хорошей точности определения какой-либо величины, строя измерения так, что она находится как небольшая разность результатов независимых измерений двух величин, существенно превышающих искомую. В противоположность этому относительная погрешность суммы

очевидно не зависит от соотношения величин X и Y.

Следующий вывод, вытекающий из закона сложения погрешностей, относится к определению погрешности среднего арифметического. Следует отметить, что среднее арифметическое из ряда измерений числом n отягощено меньшей погрешностью, чем результат каждого отдельного измерения. Запишем этот вывод в количественной форме. Пусть x₁, x₂, x_n результаты отдельных измерений, причем каждое из них характеризуется одной и той же дисперсией D . Образуем величину Y , равную

Дисперсии этой величины D_y определяются в соответствии с формулой сложения дисперсий

как

Но у , по определению, это - среднее арифметическое из всех величин x_i и мы можем написать

(13)

Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического равна средней квадратической погрешности отдельного результата измерений, деленной на корень квадратный из числа измерений. Это - фундаментальный закон возрастания точности при росте числа наблюдений. Мы его уже обсуждали в разделе 5.1. Из него следует, что, желая повысить точность измерений в 2 раза, мы должны сделать вместо одного - четыре измерения; чтобы повысить точность в 3 раза, нужно увеличить число измерений в 9 раз, и, наконец, увеличение числа наблюдений в 100 раз приведет к десятикратному увеличению точности измерений.

Разумеется, это рассуждение относится лишь к измерениям, при которых точность результата полностью определяется случайной погрешностью. В этих условиях, как уже указывалось, выбрав n достаточно большим, мы можем существенно уменьшить погрешность результата. Такой метод повышения точности широко используется. Отметим, что повышение точности измерений целесообразно производить таким способом в том случае, если погрешность измерительного средства намного превышает цену деления шкалы отсчёта. В этом случае погрешность можно свести к значению цены деления. Очевидно, что получить точность выше цены деления не представляется возможным т.к. при отсчёте показаний округления производятся до целых делений шкалы. С помощью такого приёма легко снизить погрешность от вариации показаний.

При практической работе очень важно строго разграничивать применение средней квадратической погрешности отдельного измерения _i и средней квадратической погрешности среднего арифметического

Последняя применяется всегда, когда нам нужно оценить погрешность того значения, которое мы получили в результате всех произведенных измерений.

В тех случаях, когда мы хотим характеризовать точность применяемого способа измерений, следует использовать погрешность _i , если n, достаточно велико.