4.6 Вероятностные оценки ширины распределения
Для оценки величины разброса случайных погрешностей относительно центра, т. е. ширины распределения, на практике используются различные приемы, приводящие к существенно разным результатам. Поэтому целесообразно сопоставить эти приемы и уяснить себе их особенности.
4.6.1 «Предельная», или «максимальная», оценка случайной погрешности.
Она теоретически правомерна только для ограниченных распределений (равномерного, трапецеидального, треугольного, арксинусоидального и т. п.). Для этих распределений действительно существует такое значение ±Хm, которое ограничивает с обеих сторон возможные значения случайной величины. Однако эти распределения являются лишь теоретической идеализацией и реальные распределения погрешностей, строго говоря, им никогда не соответствуют. Кривые плотности реальных распределений погрешностей, за редкими исключениями, не имеют четко выраженных границ. И поэтому указание для них «предельных», или «максимальных», значений неправомерно. На практике такая оценка есть указание наибольшего по модулю отклонения, встретившегося в данном, произвольно ограниченном ряду наблюдений, так как с увеличением объема выборки экспериментальных данных «предельные» значения монотонно возрастают. Предельная погрешность прибора, найденная экспериментально по 100 отсчетам, всегда будет большей, чем найденная по первым 10 отсчетам.
Главным недостатком такой оценки является бессмысленность арифметического суммирования таких «предельных» значений, так как получаемая сумма может превышать действительные погрешности в несколько раз.
4.6.2 Квантильные оценки случайной погрешности.
Площадь, заключенная под кривой плотности распределения (рис.), согласно правилу нормирования, равна единице, т. е. отражает вероятность всех возможных событий. Эту площадь можно разделить на некоторые части вертикальными линиями. Абсциссы таких линий называют квантилями. Так, х=x1 на рис., а есть 25%-ная квантиль, так как площадь под кривой р(х) слева от нее составляет 25% всей площади, а справа — 75%. Между х1 и x3, т. е. 25%- и 75%-ной квантилями, которые принято называть сгибами (или квартилями) данного распределения, заключено 50% всех возможных значений погрешности, а остальные 50% лежат вне этого промежутка.
Медиана (х=x2 на рис. а) —это 50%-ная квантиль, так как она делит площадь под кривой р(х) на две равные части.
На рис. б х =Х3 есть 5%-ная квантиль, так как площадь под кривой р(х) слева от нее составляет 5% всей площади. Соответственно значения х1, х2,, х6, и х7, на рис. б — это 1%-, 2,5%-, 97,5% и 99%-ная квантили. Их удобно обозначать соответственно как x0,01, x0,025 ,x0,975 и x0,99. Интервал значений х между x3=x0,05 и x4=x0,95 охватывает 90% всех возможных значений случайной величины и называется интерквантильным промежутком с 90%-ной вероятностью.
На основании такого подхода вводится понятие квантильных оценок погрешности, т. е. значений погрешности с заданной доверительной вероятностью Рд, как границ интервала неопределенности ±д=±Pд/2, на протяжении которого встречается Рд процентов всех значений погрешности, а 1-Рд процентов общего числа их значений остаются за границами этого интервала.
Таким образом, доверительное значение случайной погрешности есть ее максимальное значение с указанной доверительной вероятностью Рд, т. е. сообщение, что часть реализации погрешности с вероятностью 1-Рд=q может быть и больше указанного значения погрешности.
Так как квантили, ограничивающие доверительный интервал погрешности, могут быть выбраны различными, то при сообщении такой оценки должно одновременно обязательно указываться значение принятой доверительной вероятности Рд. Удобнее всего для этого обозначение доверительной погрешности снабжать индексом, численно равным принятой доверительной вероятности, т. е. писать, например 0,9 при Рд=0,9, 0,95 при Рд=0,95 и т.д.
Исторически сложилось так, что в разных областях знаний используют различные значения доверительной вероятности, равные 0,5; 0,8; 0,9; 0,95 и 0,99. Так, в высоко ответственной области расчета артиллерийской стрельбы общепринятой является так называемая срединная ошибка, т. е. погрешность с доверительной вероятностью Рд=0,5, когда 50% всех возможных отклонений меньше ее, а другие 50% — больше (см. рис. а). Доверительная вероятность Рд=0,8 является общепринятой в теории и практике оценки надежности средств автоматики, электронной и измерительной техники.
Погрешность 0,9 обладает тем уникальным свойством, что для широкого класса наиболее употребляемых законов распределения вероятностей только она имеет однозначное соотношение со средним квадратическим отклонением в виде 0,9=1,6 вне зависимости от вида закона распределения. Поэтому ГОСТ 11.001—73 (сейчас не работает) при отсутствии данных о виде закона распределения для определения двусторонней доверительной вероятности предписывал использовать только Рд=0,9. При наличии у прибора, кроме чисто случайной составляющей погрешности, еще и систематической погрешности выход возможных значений погрешности за границы доверительного интервала ±(+0,9) становится практически односторонним. Для односторонней вероятности выхода за пределы интервала ±д при отсутствии данных о виде закона распределения ГОСТ 11.001—73 предписывал использование доверительной вероятности Рд=0,95.