4.4 Деформация законов распределения при суммировании случайных величин. Центральная предельная теорема.
Особенность законов распределения таких случайных величин, как погрешности приборов и результатов измерений, состоит в их большом разнообразии. Это вызвано тем, что результирующая погрешность прибора или результата измерения складывается из ряда составляющих. Если эти составляющие рассматривать как случайные величины, то суммирование погрешностей сводится к суммированию случайных величин. Но при суммировании случайных величин законы их распределения резко изменяют свою форму.
Закон распределения суммы независимых случайных величин р(х)=р(x1+x2), имеющих распределения p1(х) и p2(x) называется композицией и выражается интегралом свертки. Изменение формы законов распределения при образовании композиции показано на рис.
Так, при суммировании двух равномерно распределенных погрешностей (рис. а) с шириной распределений а >b результирующая погрешность имеет распределение в форме трапеции с верхним основанием а—b и нижним а + b. Эту деформацию можно представить себе более наглядно как «размыв» резко ограниченных концов более широкого распределения (шириной а) на величину протяженности b менее широкого распределения как это показано штриховыми линиями на рис. а.
Композиция двух одинаковых (с шириной а) равномерных распределений является треугольной (так называемое распределение Симпсона), так как в этом случае верхнее основание трапеции обращается в нуль, а нижнее — в 2a.
Подобным же образом образуется композиция равномерного и нормального распределений (рис. б), лишь с тем отличием, что подъем и спад по краям результирующего распределения происходит по кривой интегрального закона нормального распределения, аналогично тому, как на рис. а он происходил по кривой интегрального закона равномерного распределения (по прямой линии).
Образование композиции равномерного распределения шириной а и арксинусоидального распределения шириной b показано на рис. в. Композиция представляет собой криволинейную трапецию с верхним основанием а — b, нижним а + b и спадами по кривым интегрального закона арксинусоидального распределения (функции арксинуса).
Композиция равномерного распределения и распределения Лапласа (двустороннее экспоненциальное распределение на рис. б) показана на рис. г и имеет длинные, полого спадающие «хвосты» кривой результирующего распределения.
Распределения, показанные на рис. построены без соблюдения относительного масштаба кривых по вертикали. Этот масштаб определяется каждый раз тем, что площадь под любой из кривых плотности должна быть равна единице.
В том случае, если мы имеем дело с композицией n распределений независимых случайных величин, то суммарный закон распределения приводит к закону как угодно близкому к нормальному, причём, чем больше Xn, тем большая степень приближения к нормальному закону. Об этом говорит центральная предельная теорема.
4.5 Другие виды законов распределения
4.5.1 Прямоугольное (равномерное) распределение
Это такое распределение случайной величины, при котором её плотность вероятности Р(x) имеет вид, показанный на рис. а. В отличие от нормального закона распределения непрерывная случайная величина здесь принимает значение только в пределах некоторого конечного интервала. В общем случае равномерное распределение относится к классу трапециидальных распределений, которые показаны на рис. б. Во многих случаях этот вид принимает композиция распределений при суммировании двух равномерно распределённых случайных величин.
По прямоугольному закону распределяются случайные составляющие погрешностей измерений, обусловленные сухим трением, погрешности округления отсчётов, погрешности квантования в цифровых приборах и другие. Выражения для мат. ожидания, дисперсии и с.к.о. случайных величин, распределённых по такому закону, имеет вид:
В частном случае равномерного распределения симметричного относительно оси OY с границами (-a) и (+a)
