4.3.2Свойства нормальных кривых распределения

Величина, распределенная по нормальному закону, всегда имеет бесчисленное множество возможных значений; поэтому нормальные законы удобно графически изображать криволинейными диаграммами. На рис. изображено несколько кривых распределения подчинённых нормальному закону.

1. Все кривые имеют одну наивысшую точку, при удалении от которой вправо или влево они понижаются. Это означает, что при удалении значений случайной величины от ее наивероятнейшего значения вероятности их постоянно убывают.

2. Все кривые симметричны относительно вертикальной прямой, проведенной через наивысшую точку. Это означает, что все значения, равноудаленные от наивероятнейшего значения, имеют одинаковые вероятности.

3. Все кривые имеют колоколообразную форму, плотность вероятности такого распределения определяется уравнением

где ²=D – дисперсия, a – среднее значение случайной величины

Очевидно, что для всякой кривой распределения расположенная под ней площадь равна единице т.е. площадь эта равна вероятности того, что данная случайная величина примет какое бы то ни было из своих значений, т. е. вероятности достоверного события. Отличие отдельных кривых распределения друг от друга состоит в том, что эта суммарная площадь, одна и та же для всех кривых, различным образом распределена между различными участками. Для нормальных законов, как показывают кривые на рис. вопрос в основном заключается в том, какая доля этой суммарной площади сосредоточена над участками, непосредственно примыкающими к наивероятнейшему значению, и какая над участками, более удаленными от этого значения. Для закона, изображаемого на рис. а, почти вся площадь сосредоточена в непосредственной близости наивероятнейшего значения; это означает, что случайная величина с подавляющей вероятностью и, значит, в подавляющем большинстве случаев принимает значения, близкие к ее наивероятнейшему значению. В связи с тем, что наивероятнейшее значение всегда совпадает со средним значением, мы можем сказать, что случайная величина, подчиненная закону а, мало рассеяна; в частности, ее дисперсия и среднее квадратическое отклонение малы. Наоборот, в случае, изображенном на рис. в, - площадь, сосредоточенная в непосредственной близости наивероятнейшего значения, составляет лишь небольшую долю суммарной площади. Здесь весьма вероятно, что случайная величина будет получать значения, заметно отклоняющиеся от ее наивероятнейшего значения, она сильно рассеяна и ее дисперсия и среднее квадратическое отклонение велики. Случай б, очевидно, занимает положение, промежуточное между случаями а и в.

Сформулируем основные свойства нормального распределения

Свойство 1. Если величина х распределена по нормальному закону, то

1. при любых постоянных с>0 и d, величина сх +d также распределена по некоторому нормальному закону, и

2. обратно, для любого нормального закона найдется такая (единственная) пара чисел с>0,и d, что величина сх + d распределена именно по этому закону. Таким образом, если случайная величина х распределена по нормальному закону, то законы распределения, которым подчиняются величины сх + d при всевозможных значениях постоянных с > 0 и d,— это все нормальные законы.

Свойство 2. Если случайные величины х и у взаимно независимы и распределены по нормальным законам, то и сумма их z=х+у распределена по некоторому нормальному закону.

Доказательства этих положений приводятся в высшей математике. Указанные свойства позволяют перейти к следующим положениям, имеющим практическое применение.

- Если случайная величина распределена по одному из нормальных законов, то все её особенности могут быть однозначно определены путём задания ее среднего значения и дисперсии. В частности, зная среднее значение и дисперсию такой величины, мы можем вычислить вероятность того, что значение ее будет принадлежать тому или другому произвольно выбранному участку.

- Отношение срединного (вероятного) отклонения к среднему квадратическому отклонению одно и то же для всех нормальных законов.

- В том случае, если x и y – взаимно независимые случайные величины, подчинённые нормальным законам, и z=x+y, то тогда вероятные отклонения величин x, y и z связаны между собой выражением