Задание

Дана квадратная область (пластина). На нее накладывается сетка из (50+1)×(50+1) узлов. В данной области расположены стационарные источники тепла различной интенсивности. Для точек, расположенных на границах области задана распределение интенсивности температур (граничные условия) в виде некоторой функции от номера m узла. Нумерация узлов осуществляется от 0 до 50 слева на право и снизу вверх относительно осей системы координат (x,y). В каждом варианте необходимо решить уравнение Пуассона с учетом всех условий и считая коэффициент теплопроводности пластины равным 1.

В таблице 1 приведены варианты заданий.

12

Таблица 1. Варианты заданий

№	Координаты источников тепла			Интенсивн. ист. тепла			Распределение интенсивности температур на границах				b
	1	2	3	1	2	3	Лев.	Прав.	Нижн.	Верхн.
1	(10,15)	(25,30)	-	5	10	-	1	1	1	1	-
2	(10,10)	(40,40)	-	2	15	-	7	2	7	7	15
3	(30,10)	---	-	7	-	-	3	3	4	4	9
4	(25,25)	(5,5)	(45,10)	8	8	8	5	7	1	1	2
5	(5,15)	(10,20)	-	15	20	-	1	1	1	1	-
6	(10,10)	(3,3)	(25,40)	3	1	7	7	7	7	7	3
7	(30,25)	-	-	6	-	-	3	4	5	6	1
8	(8,37)	(39,20)	-	12	9	-	1	1	7	7	2
9	(24,12)	(10,36)	-	5	5	-	2	2	3	3	5
10	(25,25)	(10,10)	(40,40)	15	5	7	1	1	1	1	3

В таблице 2 заданы функции распределения интенсивности температур на границах.

Таблица 2 Варианты заданий. Функции

№	1	2	3	4	5	6	7
f(m)	0

13

Лабораторная работа №5

Автоматическая генерация расчетной сетки

Цель работы: изучение метода автоматической генерации расчетной сетки.

Обзор существующих методов автоматической генерации расчетной сетки

Большинство методов численного расчета основаны на переходе от протяженной задачи к дискретной, т.е. к такой задаче, в которой не находят функции распределения той или иной физической величины, а находят лишь значения этой величины в некотором конечном наборе точек. При этом пространство, параметры которого рассчитываются в задаче, разбивается на конечное число элементов, целиком заполняющих это пространство. Элементы, как правило, являются простыми фигурами и для них можно решить задачу. Для пространственной задачи элементы заключают в себе объем, например таким элементом может быть тетраэдр. Для плоских задач, либо пространственных задач, но тем или иным способом сводящихся к плоским, используются различные плоские полигональные фигуры.

П

14

роблема оптимального разбиения пространства задачи является подчас очень сложной. На каждый элемент разбиения могут накладываться довольно жесткие ограничения. К тому же, в пространстве задачи могут быть некие характерные области, где параметры меняются довольно резко. Например, в задачах механики твердого деформируемого тела, такие области образуются вблизи концентраторов напряжений и в них напряжения меняются чрезвычайно резко. Такие области требуют более частого разбиения.

В современных задачах подобного класса разбиение включает в себя огромное количество элементов, как правило, не менее тысячи. Создавать вручную такие разбиения не представляется возможным, поэтому в дополнение к основным расчетным алгоритмам должны быть созданы и алгоритмы генерации разбиения.

Расчет тонких плит методом конечных элементов представляет собой как раз такую задачу. В ней пространственная задача сводится к "псевдоплоской", разбиение производится в плоскости, а толщина является параметром каждого элемента. Для максимальной универсальности и упрощения алгоритма разумно выбрать треугольный конечный элемент – самый простой двумерный элемент. Поэтому сетка будет треугольной. На треугольники сетки накладываются два основных ограничения: треугольник не должен быть слишком вытянутым (skinny triangle), т.е. его минимальный угол ограничен сверху; площадь треугольника не должна превышать определенного значения, ввиду того, что перемещения находятся только в вершинах и центре тяжести треугольника и есть шанс упустить максимальное перемещение (следовательно и напряжение) при достаточно больших элементах.

Т

15

аким образом, необходим алгоритм, разбивающий полигональную фигуру. При этом на эту фигуру должно накладываться минимум ограничений: не должно быть никаких ограничений, касающихся выпуклости; она может содержать отверстия, выделенные области (другие физические характеристики, нагрузки и т.п.). Треугольники получаемой сетки должны удовлетворять двум перечисленным выше требованием. Желательно, чтобы алгоритм был адаптивным и требовал как можно меньшего участия человека.

Основными понятиями теории триангуляции и плоских треугольных сеток являются диаграммы Вороного (рисунок 4) и триангуляция Делоне.

Рисунок 4 – Триангуляция Делоне (Delaunay triangulation)

Д

16

иаграммами Воронова на плоскости для множества точек называют системы полигональных фигур, образуемых линиями, перпендикулярными отрезкам, соединяющими соседние точки и проходящим через середины этих отрезков. Триангуляция Делоне на плоскости – это множество не пересекающихся треугольников, в котором ни одна точка, не принадлежащая данному треугольнику, не попадает в окружность, описанную вокруг этого треугольника. Все рассматриваемые методы оперируют этими понятиями в том или ином виде. Приведем лишь названия наиболее известных алгоритмов генерации сетки: Radial sweep algorithm, Recursive split algorithm (Алгоритм последовательного разбиения), Divide-and-conquer algorithm (Алгоритм деления-и-включения), Step-by-step algorithm, Modified hierarchical algorithm (Модифицированный иерархический алгоритм)., Incremental algorithm, Incremental delete-and-build algorithm.

Все эти алгоритмы не предназначены непосредственно для генерации конечно-элементной сетки. Они подразумевают наличие опорных точек, которые будут потом узлами сетки. К сетке для метода конечных элементов предъявляется ряд особых требований. Во-первых, треугольники не должны быть сильно вытянутыми, т.к. наличие таких треугольников отрицательно сказывается на точности результатов расчета. Во-вторых, должен быть учтен характер работы конструкции и ее геометрия, т.е. в местах концентрации напряжений сетка должна сгущаться. Все эти требования учтены в алгоритме генерации треугольных иррациональных конечно-элементных сеток Рапперта.