Лабораторная работа №4

Уравнение стационарной теплопроводности для двумерной области

Цель работы: научиться численно решать уравнения стационарной теплопроводности для двумерной области, используя встроенные функции MathCad и применять полученные решения к описанию теплофизических процессов.

Постановка задачи и вывод уравнения теплопроводности

Постановка задач для уравнений в частных производных включает определение самого уравнения (или системы нескольких уравнений), а также необходимого количества краевых условий (число и характер задания которых определяется спецификой уравнения). По своему названию уравнения должны содержать частные производные неизвестной функции φ (или нескольких функций, если уравнений несколько) по различным аргументам, например пространственным переменным x и y. Соответственно, для решения задачи требуется вычислить функцию нескольких переменных, например φ(x,y) в некоторой области определения аргументов 0 ≤ x ≤ X и 0 ≤ y ≤ Y.

Сами уравнения в частных производных можно разделить на три основных типа: параболические, гиперболические, эллиптические.

П

1

араболические – содержащие первую производную по одной переменной и вторую – по другой, причем все эти производные входят в уравнение с одинаковым знаком.

Гиперболические – содержащие первую производную по одной переменной и вторую – по другой, входящие в уравнение с разными знаками.

Эллиптические – содержащие только вторые производные, причем одного знака.

Рассмотрим представленную на рисунке 1 задачу распространения тепла в двумерной области W.

Рисунок 1 – Двумерная область распространения тепла

Если потоки тепла в направлении осей x и y на единицу длины за единицу времени обозначены через qx и qy соответственно, то разность D между вытекающим и втекающим потоками для элемента размера dx и dy задается выражением:

(1)

2

(1)

Для сохранения тепла эта величина должна быть равна сумме тепла, генерируемого в элементе за единицу времени, скажем ψdxdy, где ψ может изменяться в зависимости от координат и времени, и тепла, освобождаемого за единицу времени из-за измерения температура, а именно (2), где с – удельная теплоемкость, р – плотность, j(x, y, t) – распределение температуры.

(2)

Ясно, что это требование равенства ведет к дифференциальному соотношению (3), которое выполняется во всей области W, где решается задача.

(3)

Вводя теперь физический закон, определяющий поток тепла в изотопной среде, можно записать для компоненты потока в произвольном направлении n (4), где – коэффициент теплопроводности, характеризующий свойства среды, известный под названием проводимости.

(4)

С

3

оотношения (2) и (3) определяют систему дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемую задачу; теперь эти уравнения нужно решить относительно трех зависимых переменных qx, qy и j.

Для такого решения необходимо задать начальные условия, скажем в момент времени t=t0(например, в этот момент времени всюду в W может быть задано распределение температуры), и краевые условия на границе Г области решения задачи, как правило, могут быть использованы два различных типа краевых условий. В случае первого условия, скажем применяемого на участке границы Гj, задаются значения температуры (x, y, t), т.е

(5)

на . Краевое условие этого вида часто называют краевым условием Дирихле.

В случае второго условия, применяемого на остальной части границы Гq, задаются значения потока тепла (x, y, t) в направлении нормали к границе n тогда можно записать

(6)

на , или

(7)

на .

Этот тип краевого условия часто называется краевым условием Неймана.

Теперь задача полностью определена уравнениями (37), (39), (40) и (41), и решением этой системы уравнений в принципе можно получить числа, представляющие распределения для j, qx и qy в любой момент времени.

Данную задачу можно записать в иной форме, исключив при помощи уравнений (3) величины qx и qy из уравнения (2) и получив в результате дифференциальное уравнение более высокого порядка с одной независимой переменной, а именно уравнение (5).

(8)

(5)

4

Для этого уравнения опять требуется задать начальные и краевые условия.

Выше была рассмотрена задача, определенная в пространственно-временной области и требующая задания начальных условий. Независимыми переменными здесь были x, y и t. Если предполагаются стационарные условия (т.е. задача не зависит от времени и, следовательно, ), то уравнения (2) и (5) упрощаются. В последнем случае имеет место уравнение (6), для решения, которого требуется только задать краевые условия.

(6)

Запишем уравнение (6) с учетом зависимых переменных:

(7)

У

5

равнение (7) описывает картину распределения температуры на плоской поверхности (например, на металлической пластине), не изменяющуюся с течением времени. Такая картина может возникнуть при условии, что стационарный источник тепла действует довольно продолжительное время, и переходные процессы, вызванные его включением, прекратились. То есть процесс считается установившимся. Физический смысл коэффициента k, который, вообще говоря, может быть функцией как координат, так и самой температуры, заключается в задании скорости перетекания тепла от более нагретых областей в менее нагретые. Функция описывает приток тепла извне, то есть источники тепла, которые также могут зависеть как от пространственных координат (что задает локализацию источников), так и от температуры .

Согласно приведенной выше классификации, дифференциальное уравнение (7) является эллиптическим. Его называют уравнением Пуассона. Если, к тому же, источники равны нулю, то уравнение (7), принимающее вид =0, называют уравнением Лапласа.

Построение разностной схемы для уравнения Пуассона

Для решения дифференциальных уравнений в частных производных используется метод конечных разностей. Расчетная область (x,y) покрывается сеткой. Узлы сетки используются для разностной аппроксимации уравнения. В результате, вместо поиска непрерывных зависимостей достаточно будет отыскать значения функции в узлах сетки (а ее поведение в промежутках между узлами может быть получено при помощи построения какой-либо интерполяции). По этой причине дискретное представление функции часто называют сеточной функцией. Конфигурацию узлов, используемую для разностной записи уравнений в частных производных на сетке, называют шаблоном, а полученную систему разностных уравнений – разностной схемой.

Д

6

ля дискретизации обеих пространственных производных в уравнении (7) следует использовать по три соседних узла вдоль каждой из координат. Поэтому уравнение Пуассона (7) может быть записано в разностной форме при помощи шаблона типа “крест” (рисунок 2).

Рисунок 2 - Шаблон аппроксимации уравнения Пуассона “крест”

Записывая на основании данного шаблона дискретное представление для (i,k)-го узла, получим разностное уравнение:

(8)

После упрощения выражения (8), приведения подобных слагаемых и, полагая , а , получим:

(9)

Из выражения (9) видно, откуда берутся коэффициенты, указанные возле узлов шаблона на рисунке 2.

П

7

усть исследуемая квадратная область содержит узлов. Тогда будет получено разностных уравнений (узлы, расположенные на границе области не используются). Для граничных узлов будет записано граничных условия (четыре угловых узла не используется). Таким образом, будет получена система из N нелинейных алгебраических уравнений и L граничных условий. В результате решения полученной системы алгебраических уравнений, будут получены значения функции во всех узловых точках. Они могут быть представлены в виде квадратной матрицы. Приведем ниже пример реализации данного алгоритма в среде MathCad 11:

8

9

Как видно, даже для малого числа узлов построение разностной схемы уравнения Пуассона в среде MathCad является очень трудоемкой задачей. Данный листинг иллюстрирует лишь суть метода конечных разностей и не применим для решения задач большой размерности.

Решение уравнения Пуассона с помощью встроенной функции

В среде MathCad 11 для решения уравнения Пуассона с произвольными граничными условиями имеется встроенная функция:

relax(a,b,c,d,e,F,v,rjac).

Эта функция возвращает матрицу решения дифференциального уравнения в частных производных на квадратной области, полученного с помощью алгоритма релаксации для метода сеток. a, b, c, d, e – квадратные матрицы коэффициентов разностной схемы, аппроксимирующей дифференциальное уравнение. Эти коэффициенты соответствуют узлам шаблона (рисунок 2); F – квадратная матрица, задающая правую часть дифференциального уравнения (в нашем случае интенсивности стационарных источников тепла в узлах сетки); v – квадратная матрица граничных условий и начального приближения к решению; rjac – параметр численного алгоритма (спектральный радиус итераций Якоби).

П

10

араметр численного алгоритма характеризует скорость сходимости итераций. Он должен быть числом от 0 до 1. В матрице граничных условий v необходимо задать только граничные элементы, исходя из значения краевых условий по периметру расчетной области. Прочие (внутренние) элементы этой матрицы служат для задания начального приближения к решению. Суть алгоритма релаксации сводится к тому, что в ходе итераций происходит проверка уравнений и соответствующая коррекция значений искомой функции в каждой точке. Если начальное приближение выбрано удачно, то можно надеяться, что алгоритм сойдется к правильному решению.

Необходимо отметить, что все матрицы задающие как коэффициенты разностной схемы a, b, c, d, e, граничные условия v, и само решение F, должны иметь одинаковый размер (M+1)×(M+1), соответствующий размеру расчетной области. При этом число М обязательно должно быть степенью двойки: M = 2n.

Пусть дана квадратная область. На нее накладывается сетка из (32+1)×(32+1) узлов. Интенсивность температуры на границах области равна нулю. В узле (15,20) расположен стационарный источник тепла с интенсивностью 10. Необходимо найти распределение температуры в этой области. Ниже представлен листинг решения данной задачи:

11

Рисунок 3 – Результат решения задачи

Таким образом, встроенная в MathCad функция позволяет очень точно решить стационарное двумерное уравнение теплопроводности и наглядно представить результаты решения (рис. 3).