5. Комбінації.

Означення. Комбінаціями без повторень з п елементів по т елементів називають будь-яку т-елементну підмножину п–елементної множини.

Звідси випливає, що комбінація з n елементів по m елементів - це всі m–елементні підмножини n-елементної множини, причому різними підмножинами вважаються ті, склад яких відрізняється хоч би одним елементом. Підмножини, які відрізняються між собою лише порядком слідування елементів, не є різними. Отже, сполучення на відміну від розміщень, – це невпорядковані підмножини даної множини.

Кількість всіх комбінацій з n елементів по m елементів позначають символом (читають: „число сполучень з n по m” або „це із n по m”). С – перша буква французького слова combinasion - комбінація. Для сполучення

Для обчислення числа комбінацій з n елементів по m елементів існує декілька формул.

Теорема 5. Для довільних натуральних n і m має місце формула

(1)

Доведення. Спочатку утворимо всі можливі неупорядковані m – елементні підмножини n–елементної множини, їх число дорівнює . Потім з кожної одержаної m–елементної підмножини перестановкою її елементів одержимо всі впорядковані m-елементні підмножини, яких буде у m! раз більше, бо кожну m–елементну підмножину можна впорядкувати m! способами. Отже, дістанемо

,

а звідси

Цю теорему можна довести іншими способами, зокрема методом математичної індукції.

Формулу (1) для числа комбінацій можна записати в іншому вигляді. Якщо чисельник і знаменник її помножити на (n-m)!, то дістанемо:

(2)

Число має ряд цікавих і важливих у практичних застосуваннях властивостей, які подамо у вигляді теорем.

Теорема 6. Для довільних натуральних n і m справджується рівність

(3)

Доведення. Рівність (3) безпосередньо випливає з формули (2). Справді,

Теорема 7. Для довільних натуральних m і n справджується

рівність

(4)

Доведення. Використаємо формулу (2):

Наслідок 1. Формулу (4) при розв'язуванні задач зручно інколи використовувати в такому вигляді:

(5)

яка є наслідком формули (4).

Формулу (5) називають ще формулою Паскаля.

Наслідок 2. Число комбінацій з n елементів по m елементів виражається через:

а) число розміщень в п елементів по m елементів формулою

– наслідок з (1);

б) число перестановок формулою

– наслідок з (2).

Наслідок 3. Нехай множина М складається з двох елементів а і b. Тоді число перестановок з n елементів, в яких елемент а повторюється n-m разів, а елемент b повторюється m разів, дорівнює

Отже, число комбінацій з n елементів по m дорівнює числу перестановок з повтореннями складу (n-m,m).

Приклад 1. Скількома способами можна вибрати з 20 осіб делегацію в складі 4 осіб?

Розв'язання. Різними вважатиме ті делегації, які відрізняються хоча б одним членом. Кількість способів вибрати з 20 осіб делегацію в складі 4 осіб дорівнює числу комбінацій з 20 елементів по 4:

Відповідь. 4845

.

Приклад 2. Скількома способами збори акціонерів з 100 осіб можуть обрати президію з 5 осіб, у тому числі голову і секретаря?

Розв’язання:

1 спосіб. Кількість способів обрання голови і секретаря з 100 осіб дорівнює числу розміщень з 100 по 2 без повторень, тобто:

Кількість способів обрання ще трьох членів президії дорівнює числу комбінацій з 98 осіб по три, тобто:

Всього кількість способів обрання президії з 5 осіб дорівнює добутку

2 спосіб. Кількість способів обрання президії з 5 осіб на зібранні, де присутні 100 осіб, дорівнює числу комбінацій з 100 по 5, тобто

Потім президія з 5 осіб обирає з свого складу голову і секретаря. Кількість способів вибору голови і секретаря дорівнює числу розміщень з 5 по 2 без повторення, тобто:

Всього кількість способів обрання президії, в тому числі голови і секретаря, дорівнює добутку

Відповідь

Означення. Комбінаціями з повтореннями з п елементів по т лементів називається будь-який т-елементний набір виду {а₁,а₂,...,а_т}, де кожний з елементів а₁,а₂,...,а_т належить до одного з п типів.

З означення випливає, що комбінаціями з повтореннями є неупорядкованими множинами, тому розташування елементів у наборах множинах не має значення. Різні комбінації з повтореннями відрізняються одна від одної елементами, що до них входять, при цьому кожний елемент може входити в комбінацію декілька разів. Тому для комбінацій з повтореннями може бути як , так і n<m, на відміну від комбінацій без повторень, де завжди .

Наприклад, з двох елементів а і b можна скласти такі комбінації з повтореннями з двох елементів по три елементи (n<m):

ааа, aab, bba, bbb,

а з трьох елементів а, b, с по два елементи (n>m) такі:

аа, ab, ас, bb, be, cc.

Оскільки комбінації з повтореннями є неупорядкованими множинами, то кожна така комбінація однозначно визначається тим, скільки елементів кожного типу в неї входить.

Наприклад, якщо маємо елементи трьох сортів, то комбінаціями з повтореннями з трьох елементів по п'ять елементів повністю визначається, якщо вказано, що вона містить два елементи першого типу, не містить жодного елемента другого типу і містить три елементи третього типу. Таке сполучення можна умовно записати так (2,0,3); з цього запису видно, скільки елементів кожного типу входить в дану комбінацію. Запис іншої комбінації (1,2,2) показує, що в це сполучення входить один елемент першого типу і по-два елементи другого і третього типів. Відмітимо, що в даному випадку кожне сполучення складається з п'яти елементів, що є сумою всіх елементів, що входять у комбінацію.

Кількість усіх сполучень з n елементів по m елементів з повтореннями будемо позначати символом . Для його знаходження користуються такою теоремою.

Теорема 8. Число різних можливих комбінацій з повтореннями з n елементів по m елементів при довільних натуральних n і m обчислюється за формулою

(1)

Доведення. Комбінації з повтореннями з n елементів по m елементів можна записати, користуючись тільки цифрами 0 i 1. Це можна зробити так: спочатку запишемо стільки одиниць, скільки елементів першого типу входить у комбінацію, потім напишемо нуль, після нього напишемо стільки одиниць, скільки елементів другого типу входить у комбінацію, потім знову нуль і т.д., тобто нуль ставиться між двома групами одиниць елементів двох різних типів. Якщо елементи якого-небудь типу зовсім не входять у дану комбінацію, то пишемо підряд два нулі. Наприклад, якщо розглядаються комбінації з чотирьох елементів a, b, c, d по шість, то запис (100110111) відповідає такій комбінації {a,c,c,d,d,d}, а запис (110111001) зображує таку комбінацію {a,a,b,b,b,d}.

Впорядкована множина, складена з одиниць і нулів, відповідна комбінації з повтореннями з n елементів по m елементів, буде мати рівно m одиниць і n-1 нулів, бо кількість одиниць дорівнює числу елементів у комбінації, а число нулів на одиницю менше числа типів елементів, оскільки нуль вживається лише для розділення типів елементів. Тому між так утвореними впорядкованими множинами з нулів та одиниць і сполученнями з повтореннями встановлюється взаємно однозначна відповідність. Але оскільки кожна така впорядкована множина складається з m одиниць і n-1 нулів,, то кількість усіх комбінацій з повтореннями з n елементів по m елементів дорівнюй кількості різних способів упорядкування (n+m-1)–елементної множини, що містить m одиниць і п-1 нулів, тобто

Наслідок. Якщо співставити одержану формулу з формулою сполучень без повторень з n+m-1 елементів по n-1 елементу, тобто з формулою

то побачимо, що праві частини цих формул однакові, тому

(2)

Отже, число сполучень з повтореннями з n елементів по m елементів дорівнює числу комбінацій без повторень з n+m-1 елементів по n-1 елементів.

Приклад 1. У поштовому відділенні продаються листівки 8 різних видів. Скількома способами можна купити в ньому 10 листівок?

Розв'язання. Оскільки порядок покупки листівок не істотний, а купити їх не можна всі різними (10>8), то маємо сполучення з повтореннями з 8 елементів по 10 елементів. Число їх дорівнює

Відповідь. 19448.

Приклад 2. Шість пасажирів сідають на вокзалі в електропотяг, який складається з 5 вагонів. Скільки можливих способів посадки пасажирів у вагони, якщо істотним є лише кількість пасажирів?

Розв'язання. Тут маємо сполучення з п'яти елементів по шість, число яких обчислюється за формулою (1) отже

Відповідь. 210.