Число підмножин n-елементної множини дорівнює 2n. (5)

Дійсно, нехай маємо множину М={а₁,а₂,...,а_n}, елементи якої пронумеровані. Кожну підмножину множини М можна подати у вигляді впорядкованої n–елементної множини, елементами якої є нулі і одиниці, причому одиницю ставимо на тому місці, на якому знаходиться певний елемент множини М, а нуль тоді, коли елемент множини М не входить у підмножину. Наприклад, якщо М={а₁,а₂,а₃,а₄}, то набір (0;1;1;0) показує, що маємо підмножину {а₂,а₃}, набір (0;0;0;0) - порожня множина, а набір (1;1;1;1) - це вся множина М.

Звідси випливає, що знайти число підмножин n-елементної множини М – це все одно, що знайти число перестановок з n елементів з повтореннями, 2-елементної множини {0;1}. За формулою (3) число таких перестановок дорівнює 2ⁿ.

Приклад 2. До шестицифрових номерів телефонів входять цифри від 0 до 9. Скільки абонентів може обслуговувати телефонна станція?

Розв'язання. Оскільки цифри в номерах можуть повторюватись, то кількість шестицифрових номерів телефонів дорівнює числу розміщень з 10 елементів по 6 з повторенням, тобто

Відповідь. 1000000 абонентів.

Приклад 3. У селі проживає не менше 1000 жителів. Довести, що принаймні двоє з них мають однакові ініціали.

Розв'язання. В українському алфавіті 29 букв, які можуть бути ініціалами людини. Кількість всіх можливих різних пар ініціалів дорівнює числу розміщень з 29 букв по дві букви з повторенням, тобто

Отже, різних ініціалів може бути не більше 841, це значно менше 1000 жителів; тому ініціали після 841 різних почнуть повторюватись. Відповідь. Повторення ініціалів у жителів села починається з 842 жителя.

4. Перестановки.

Означення. Перестановками без повторень з п елементів називаються розміщення з п елементів по п елементів.

Перестановки є окремим випадком розміщень. Оскільки перестановка містить всі n елементів множини, то різні перестановки відрізняються одна від другої тільки порядком елементів. Можна сказати, що перестановка - це кількість різних способів, якими можна впорядкувати n елементну множину.

Число перестановок з n елементів позначають символом P_n (P - перша буква французького слова permutation - перестановка).

Оскільки за означенням , то формули для обчислення числа перестановок з n елементів можна безпосередньо одержати з формули числа розміщень з n елементів по m елементів, замінивши в них m на n:

або

(1)

Отже, справедлива теорема

Теорема 3. Число перестановок з n елементів дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до n:

Звідси маємо, що у множині, яка містить n елементів, встановити певний порядок слідування елементів, тобто впорядкувати n-елементну множину можна n! способами.

Теорему 3 можна довести незалежно від розміщення. Розглянемо всі можливі перестановки з n елементів і полічимо, скільки в них на першому місці один і той же елемент. Якщо поставити названий елемент перед кожною перестановкою а інших елементів, то одержимо всі можливі перестановки, які починаються з даного елемента. Отже, число всіх перестановок з n елементів, які починаються з даного елемента, дорівнює . Але тоді число всіх перестановок з n елементів буде дорівнювати

, (2)

бо кожний з n елементів може бути першим.

Користуючись формулою (2), можна далі довести теорему 3 методом математичної індукції.

1. формула (1) вірна при n=1, бо один елемент може знаходитись лише на першому місці, тобто Р₁=1

2. припустимо, що формула (1) вірна при n=k, тобто, що

3) доведемо, що формула (1) вірна тоді і при n=k+l, тобто, що

Дійсно за формулою (2)

4) на основі принципу математичної індукції випливає, що формула (1) вірна для будь-якого натурального значення числа n.

Приклад 1. Скількома способами можна поставити на полиці 6 різних книг?

Розв'язання. Число таких способів дорівнює числу перестановок з шести елементів без повторення, тобто

Р₆ = 1∙2∙3∙4∙5∙6 = 720 (способами).

Відповідь. 720.

Приклад 2. Скількома способами можна розташувати пшеницю, жито, овес і ячмінь на чотирьох полях.

Розв'язання. Число таких способів дорівнює числу перестановок з чотирьох елементів без повторення.

Р₄=4!=1∙2∙3∙4=24

Відповідь. 24 способи.

У розглянутих перестановках без повторення число перестановок з n елементів дорівнює n!. Але якщо серед даних n елементів є однакові, то перестановки, які утворюються одна з одної переставленням однакових елементів, нічим не відрізняються; тому в цьому випадку кількість різних перестановок буде меншою ніж n!

Означення. Кожний упорядкований п–елементний набір з елементів множини М={а₁,а₂,...,а_k}, - в якому елемент а₁ повторюється n₁ раз, елемент а₂ повторюється п₂ раз, і т.д., елемент а_k повторюється п_k раз, причому n₁+n₂+…+n_k=n називається перестановкою з повтореннями з п елементів.

Кількість усіх перестановок з повтореннями з n елементів, які відповідають означенню, позначають символом

,

де

Теорема 4. Число Р_n(n₁,n₂,…, n_k), всіх перестановок довжиною n=n₁+n₂+...+n_k з повтореннями з елементів а₁,а₂,...,а_k, які повторюються відповідно n₁,n₂,..., n_k раз, обчислюється за формулою

(1)

Доведення. Кожна з перестановок містить n елементів. Якби всі елементи були різними, то мали б Р_n=n!. Але оскільки не всі елементи різні, то ряд перестановок будуть однаковими. Зокрема без зміни елементи а₁ можна переставляти між собою n₁! способами, елемент а₂=n₂! способами і т.д„ елемент a_k=n_k! способами. Тому за правилом добутку в кожній перестановці з повтореннями можна переставляти елементи , не змінюючи перестановки n₁!n₂! ... n_k! способами. Отже,

а звідси

Приклад 1. Абонент пам'ятає, що потрібний йому шестицифровий номер телефона починається з цифри 3 і містить три п'ятірки і дві дев'ятки. Проте розташування цифр він не пам'ятає. Скільки спроб повинен зробити абонент, щоб набрати потрібний номер?

Розв'язання. Маємо перестановки з повтореннями, всього спроб буде

Відповідь. 10.

Приклад 2. Скількома способами можна розділити 10 акцій одного підприємства і 15 акцій іншого між: п'ятьма особами?

Розв'язання: Використаємо метод перегородок. Спочатку з'ясуємо, скількома способами можна розділити 10 акцій між: п'ятьма особами. Для цього добавимо до 10 акцій 4 перегородки, і розглянемо всі 14 елементів: 10 акцій і 4 перегородки. Кожній такій перестановці відповідає свій спосіб розподілу: перша особа одержує акції, що попали від початку зліва до першої перегородки і друга — всі акції, що є між: першою і другою перегородкою і так далі. Отже, кількість розподілів 10 акцій між: п'ятьма особами дорівнює числу перестановок з 19 елементів з повтореннями, тобто

Аналогічно, кількість способів розподілу 15 акцій іншого підприємства між: п'ятьма особами дорівнює числу перестановок з 19 елементів з повтореннями (15 акцій і 4 перегородки), тобто

Тоді за правилом добутку, оскільки кожний з розподілів акцій першого підприємства можна комбінувати з кожним способом розподілу акцій іншого підприємства кількість способів розподілу акцій двох підприємств між: п'ятьма особами буде дорівнювати