3. Розміщення.

Означення. Кожна упорядкована т-елементна підмножина п-елементної множини, називається розміщенням без повторень п елементів по т елементів.

і

З означення випливає, що і що розміщення з n елементів по m елементів - це всі m-елементні підмножини, які відрізняються між собою або складом елементів або порядком їх слідування.

У комбінаторних задачах необхідно вміти підраховувати число всіх розміщень з п елементів по m елементів.

Для позначення числа розміщень з n елементів по m елементів вживають спеціальний символ (читається: "число розміщень з n по m" або "А із n по m"). А - перша буква французького слова arrangement, що означає в перекладі розміщення, зведення до поряду.

Зрозуміло, що , бо існує лише одна підмножина n-елементної множини, яка не містить елементів (порожня множина). У загальному випадку має місце таке твердження.

Теорема 1. Число розміщень з n елементів по m елементів дорівнює добутку m послідовних натуральних чисел від n до n-m+1 включно, тобто

(1)

Доведення. Число розміщень з n елементів по m елементів дорівнює числу всіх m–елементних упорядкованих підмножин n-елементної множини. Перший елемент підмножини можна вибрати n способами. Другий елемент підмножини можна вибрати n–1 способами, оскільки другим елементом можна взяти будь-який елемент множини, крім уже вибраного першим.

Кожний із способів вибору першого елемента може об'єднуватись з кожним із способів вибору другого, тому існує n(n-1) способів вибору перших двох елементів для n–елементної упорядкованої підмножини.

Після вибору перших двох елементів залишається n-2 можливостей вибору третього елемента, і знову, як і раніше, кожна з цих можливостей може комбінуватись з будь-якою із можливостей вибору перших двох елементів, тобто вибір перших трьох елементів можна здійснити n(n-l)(n-2) способами і т.д.

Останній m-й елемент m-елементної упорядкованої підмножини n–елементної множини можна вибрати n-m+1 способом, оскільки до вибору m–го елемента залишилось n-(m-l) елементів.

Отже, число розміщень з п елементів по m елементів дорівнює:

що й треба довести.

Цю теорему можна довести іншими способами, зокрема методом математичної індукції.

Формулу (1) можна записати в іншому вигляді, використовуючи поняття n-факторіала. Дійсно, помножимо і розділимо добуток, що стоїть у правій частині формули (1), на (n-m)!

Дістанемо

або

(2)

Формула (2) має деякі переваги над формулою (1) у практичному використанні.

Формула (1) виводилась у припущенні, що m>0, а формулою (2) можна користуватись і при m=0, оскільки вона і в цьому випадку дає вірний результат:

Нагадаємо, що , а порожня множина є єдиною підмножиною будь-якої множини.

При виведенні формули (1) також припускалось, що n≠0, тобто, що дана множина не порожня. Якщо n=0, то розглядається порожня множина.

Оскільки порожня множина має тільки одну підмножину (саму себе), то .

Враховуючи, що 0!=1, то формула (2) дає вірний результат і при n=0:

Приклад 1. Розклад одного дня містить 5 різних пар. Знайти кількість можливих розкладів, якщо вивчається 9 дисциплін.

Розв'язання. Маємо розміщення з 9 елементів по 5 без повторень, їх кількість дорівнює

Відповідь. 15120 розкладів.

У розміщеннях без повторень не має однакових елементів у вибірці: після вибору першого елемента для вибору другого елемента залишається на одиницю менше можливостей і т.д.

Означення. Розміщенням з повтореннями з п елементів по т елементів називається будь-який упорядкований т-елементний набір виду (а₁,а₂,...,а_m),де а а₁,а₂,...,а_m - елементи множини M={ а₁,а₂,...,а_n}, в якому хоч би один елемент повторювався.

Число всіх розміщень з повтореннями з n елементів по m елементів позначають символом . На відміну від розміщень без повторень, де , для розміщень з повтореннями може бути і m>n. Особливістю розміщень з повторенням є те, що після вибору першого елемента а₁ Є М, записавши його на першому місці набору, його повертають у множину М, тобто число елементів множини М залишається сталим для вибору другого, третього і т.д. m-го елемента набору. Повторивши цю операцію m разів, дістаємо деяке розміщення з повтореннями з n елементів по m елементів. Тому розміщення з повтореннями з n елементів по m елементів ще називають впорядкованими m-вибірками з n-елементної множини.

Теорема 2. Число розміщень з повтореннями з n елементів по m елементів обчислюють за формулою

, де m і n - натуральні числа. (3)

Доведення. Перш за все відмітимо, що розміщення з повтореннями з n елементів по m елементів можна одержати з розміщень по (m-1) елементу приєднанням ще одного елемента. Оскільки до кожного розміщення по (m-1) елементів можна приєднати будь-який з n елементів, то кожне розміщення по (m-1) елементу породжує n різних розміщень по m елементів, тобто

(4).

Тепер доведення формули (3) проведемо методом математичної індукції по m:

1) при m=1 число розміщень дорівнює n:

2) припустимо, що формула (3) вірна для деякого m=k, тобто, що

3) доведемо, що при цьому формула (3) вірна також і для m=k+l, тобто, що

.

Дійсно, користуючись формулою (4), знайдемо:

.

4) вимоги математичної індукції виконуються, тому формула (3) вірна для будь-якого натурального значення m.

Наслідок.