Вступ

Комбінаторика - важливий розділ математики, знання якого необхідні представникам самих різних спеціальностей. З комбінаторними задачами мають справу не лише математики, а й економісти, менеджери, соціологи. Комбінаторні методи лежать в основі розв'язання багатьох задач теорії ймовірностей.

Окремі комбінаторні задачі з'явилися дуже давно. У відомих тепер працях стародавніх індійських вчених знайдені формули числа перестановок і сполучень. В Європі елементи комбінаторики зустрічаються в працях Н. Тортальї (XVI ст.), але повної теорії перестановок, розміщень, сполучень він не дав. Перші теоретичні дослідження в цій галузі, у зв'язку з розвитком алгебри многочленів і виникненню теорії ймовірностей здійснили в XVII ст. французькі математики Б.Паскаль (1623-1662) і П.Ферма (1601-1665). Ряд комбінаторних задач розв'язав Л.Ейлер (1707-1783). Проте в справжню математичну науку комбінаторика перетворилася лише в XX столітті, коли виникла потреба її застосування в обчислювальній техніці, кібернетиці, економіці й інших науках.

Сучасна комбінаторна математика сягає далеко за межі елементарної комбінаторики, знаходить широке застосування в багатьох дисциплінах.

В останні десятиріччя інтерес до комбінаторних задач значно посилився, оскільки виявилось, що багато важливих проблем, пов'язаних з розробкою оптимальних планів виробництва, транспортування, розміщення підприємств зводиться до задач комбінаторного характеру. Хоч ці задачі, як правило, досить складні і вимагають надзвичайно великої кількості варіантів, сучасні комбінаторні методи пов'язані з застосуванням швидкодіючих електронних обчислювальних машин, комп'ютерної техніки, дають ефективно розв'язувати такі задачі.

1. Поняття комбінаторної задачі.

У практичному житті, серед різних математичних задач часто зустрічаються такі, в яких треба вибирати з деякої множини об'єктів підмножини елементів, які мають ті чи інші властивості, розміщувати їх у певному порядку за певними правилами знаходити число способів, за якими таке розташування можна здійснити. Наприклад, керівнику підприємства треба відправити у відрядження певну групу спеціалістів, агроному розмістити сільськогосподарські культури на декількох полях і т.д.

Оскільки в таких задачах ідеться про ті чи інші варіанти, комбінації об'єктів, то їх називають комбінаторними задачами.

Розділ математики, в якому обґрунтовується теорія розв'язування комбінаторних задач, називається комбінаторикою.

Будь-яку комбінаторну задачу можна звести до задачі про скінченні множини, тому комбінаторику можна розглядати як складову частину теорії скінченних множин.

Спільним для всіх комбінаторних задач є те, що у кожній з них іде мова про деяку скінченну множину елементів і про кількість її підмножин, які задовольняють певні перелічені в умові вимоги умови.

Поряд з цим у різних комбінаторних задачах по різному підходять до поняття "рівні підмножини": в одних задачах підмножини, які відрізняються тільки порядком розташування в них елементів, треба вважати різними, а в інших порядок слідування елементів не істотний, і підмножини, які відрізняються тільки розташуванням елементів, не вважаються різними.

Якщо підмножини, які відрізняються тільки порядком слідування елементів, вважаються різними, то такі підмножини називаються упорядкованими.

Комбінаторні задачі поділяються на розміщення, перестановки і сполучення як без повторення, так і з повтореннями. У комбінаториці розроблені загальні методи і виведені готові формули для розв'язування комбінаторних задач.

Оскільки в комбінаторних задачах мова йде про скінченні множини і їхні підмножини, то число способів комбінування елементів множин завжди виражається натуральним числом.

2. Загальні правила комбінаторики.

Правило суми. Якщо елемент а з множини А можна вибрати m способами, а елемент b множини В можна вибрати п способами, причому ніякий вибір а не збігається з жодним з виборів b , то число способів, якими можна здійснити хоча б один з цих виборів, дорівнює сумі m+n.

Правило суми легко узагальнюється.

Узагальнене правило суми. Нехай елемент a₁ множини А₁ можна вибрати m₁ способами, елемент а₂ множини А₂ - m₂ способами,..., елемент а_к - множини А_к можна вибрати m_к способами. Тоді число способів, якими можна здійснити хоча б один з цих виборів, дорівнює сумі m₁ + m₂ + ...+ m_к.

Приклад 1. У спільному українсько-німецькому підприємстві працюють 100 працівників. З них 45 володіють англійською мовою, 65 - німецькою мовою, 25 - англійською і німецькою мовами. Скільки працівників знають : а) хоча б одну мову; б) тільки одну мову; в) не знають жодної іноземної мови?

Розв'язання. U-множина працівників фірми.

а )Нехай А - множина працівників, що знають англійську мову, їх число N(A)=45; В - число працівників, що знають німецьку мову, їх число N(B)=65. Число працівників, що володіють і англійською і німецькою є число елементів перерізу множин А і В, тобто . Тоді за правилом суми число працівників які володіють хоч би однією мовою буде дорівнювати , тобто 45+65-25=85 (працівників). Отже, хоча б однією мовою володіє 85 працівників.

б)тільки англійською 45-25=20 (працівників), тільки німецькою 65-25=40 (працівників).

За правилом суми число працівників , що володіють тільки однією мовою, дорівнює сумі 20+40=60 (працівників).

в) Не знають жодної іноземної мови 100-85=15 (працівників).

Відповідь, а) 85 працівників, б) 60 працівників, в) 15 працівників. Ілюстрація кругами Ейлера нарисі.

Правило добутку. Якщо елемент а множини А можна вибрати m способами і при кожному а цих виборів елемент b множини В можна вибрати n способами, то впорядковану пару (а; b) можна вибрати m ^. n способами.

У справедливості правила добутку можна переконатись з таких міркувань. Нехай А={а₁,а₂,...,а_m} і B={b₁,b₂,...,b_m}.

Тоді пари виду (а,b) можна записати у вигляді такої таблиці:

(а₁; b₁), (а₁; b₂),...,(а₁; b_n),

(а₂; b₁), (a₂; b₂),...,(a₂; b_n),

………………………..

(а_m; b₁), (a_m;b₂),...,(a_m; b_n).

Ця таблиця складається з m рядків, у кожному з яких міститься п елементів. Отже, загальне число пар дорівнює добутку m ^. n. Множину впорядкованих пар, складених з елементів скінчених множин А і В, називають декартовим добутком цих множин і позначають А × В.

Тому правило добутку можна узагальнити.

Узагальнене правило добутку. Нехай елемент а₁ з множини А₁, можна вибрати m₁ способами, елемент а₂ з множини А₂ - m₂ способами,..., елемент а_k з множини А_k можна вибрати m_k способами.

Тоді послідовний вибір елементів (а₁,а₂,…,а_k;) можна здійснити m₁∙m₂∙...∙m_k способами.

Число елементів декартового добутку скінченних множин А і В дорівнює добутку числа елементів у кожній із даних множин, тобто

Приклад 2. З Києва до Чернігова можна дістатися пароплавом, поїздом, автобусом, літаком. З Чернігова до Новгород-Сіверського - пароплавом і автобусом. Скількома способами можна здійснити подорож за маршрутом Київ - Чернігів - Новгород-Сіверський?

Розв'язання. Позначимо множину можливих способів подорожі від міста Києва до міста Чернігова через М, в ній два елементи, тому вибрати один елемент - спосіб подорожі, можна двома способами, тобто т=2. Множину можливих способів подорожі з міста Чернігова до міста Н.-Сіверській, позначимо через Р, в ній 4 елементи, тому вибрати один елемент з цієї множини можна чотирма способами, тобто п=4.

Тоді за правилом добутку число способів вибору упорядкованої пари дорівнює добутку т∙п=4∙2=8. Отже, з міста Києва до міста Н.-Сіверського через місто Чернігів можна вибрати 8 способів подорожі.

Відповідь: 8 способів.