Общие соображения о вычислении погрешностей

Если известны неустраненная систематическая _нс и случайная _с погрешности опыта, то предельная _пр погрешность опыта будет равна

_пр = _нс + _с

Напомним, что желательно всегда выполнять условие _нс 0.

Если известны отдельные составляющие случайной погрешности, то полная случайная погрешность определяется по формуле:

_с = ²_с1 + ²_с2 + …+ ²_сn = ²_сi .

Если известны отдельные составляющие систематических погрешностей, то полная систематическая погрешность определится

²_нс = _нсj

Случайные погрешности

Источники случайных погрешностей весьма разнообразны:

1. Различие состава исходного сырья и продуктов переработки (погрешности пробоотбора).

2. Различие количеств исходного сырья и материалов (погрешности взвешивания).

3. Различие условий проведения эксперимента (условий подачи материала; времени выполнения опытов; точности выполнения отдельных операций и т.п.).

4. Различие условий подготовки продуктов опыта для анализа (сушка, разделка, перемешивание, сокращение и т.п.).

5. Погрешность методов анализа продуктов опыта.

6. Погрешность вычислений.

Многократное выполнение одного и того же опыта (параллельные опыты), - например, прямое измерение какой-либо физической величины х, - приводит к различным результатам.

Вычислим функцию плотности вероятностей (рис. 2.1)

f(y) = limf (y) = lim m(y,y)/ny

n; y0

где n ( от 1 до n) – число наблюдений при прямом измерении какой-либо физической величины х;

m(y,y) – число результатов наблюдений, попавших в интервал y.

Функция f(y) позволяет ответить на вопрос, какова вероятность того, что результата наблюдения отклоняется от истинного значения х измеряемой величины не более, чем на заданную величину погрешности (). Эта вероятность равняется площади фигуры под кривой функции f(y) на участке [(x - ), (x + ]. Эта функция – плотность вероятности.

Измерения одной и той же величины в разных условиях (например, разными приборами) описываются различными функциями плотности распределения.

По виду функции можно судить о точности измерений.

Из двух экспериментов (рис.2.2) первый точнее.

Те же рассуждения можно провести и для самой случайной погрешности.

y_i = x + _i; _i = y_i – x; () = f(y) – x

С помощью функции () можно определить вероятность того, что случайная погрешность результата наблюдений _i не превзойдет заданного значения . Эта вероятность равна площади фигуры, лежащей под кривой ().

Кроме функции плотности распределения (которая дает более полное представление о случайной погрешности) для описания случайной погрешности используются числовые характеристики – дисперсия и среднее квадратичное отклонение (D и )

D = ² ()d ,  = D

Эти характеристики (D и ) характеризуют величину разброса  вокруг нуля.

Одной из наиболее распространённых функций плотности распределения является закон нормального распределения (рис.2.3)

() = [1/2]exp(- ²/2 ²)

Важнейшие свойства функции ():

1. Положительные и отрицательные значения погрешностей равновероятны, равновероятны и их одинаковые значения.

2. Большие погрешности менее вероятны, чем меньшие.

Важно помнить некоторые значения вероятностей появления погрешностей. Если известна , то в общей совокупности погрешностей 68,27% по абсолютной величине будут меньше , 95,45% будут меньше 2 и 99,73% будут меньше 3.

Закон распределения погрешности результата является весьма полной характеристикой опыта. Во многих случаях он может быть неизвестен и приходиться довольствоваться упрощенными оценками погрешности.

Простейшее представление погрешности – указание пределов или размаха варьирования результата.

Пределы: х_min и х_max

Размах варьирования: х = х_max - х_min

Более полной характеристикой является среднеквадратичная погрешность (отклонение)

S²_x = [(x_i - x)²] /n

Практически нежелательно ставить какую либо специальную серию опытов для оценки S. Для этого можно использовать результаты эксперимента, если каждый опыт повторен хотя бы 2-3 раза, для чего необходимо найти оценки дисперсий отдельных реализаций опыта S²_i , затем найти оценку дисперсии опытов

S²_x =  S²_i /k,

где k – число опытов в эксперименте;

S²_i – оценка дисперсии i – го опыта, найденная по 2-3 его реализациям.

Можно видеть, что величина S_х является статистической характеристикой, и конкретное значение х может быть любым в диапазоне х  3S_x (а 0,27% результатов могут выходить за пределы этого диапазона).

Часто желательно указать наибольшую возможную погрешность опыта. Это можно сделать только с определённой степенью надёжности такой оценки, характеризуемой доверительной вероятностью. Например, если указано, что наибольшая возможная погрешность равна S , то это будет справедливо лишь в 68,27% случаях, т.е. доверительная вероятность указания будет равна 68,27%.

Чаще всего в технике используется 95% доверительная вероятность, что соответсвует наибольшей возможной погрешности опыта равной 2 S.

Если необходимо найти некоторое значение неизвестной величины х с погрешностью, характеризуемой S_x , меньшей среднеквадратичной погрешности отдельного результата S_x , причем известно, что S_x – случайная погрешность, то достаточно выполнить большое число опытов n.

Другими словами, случайная погрешность может быть уменьшена многократным повторением опытов.