25. Производные высших порядков.

Производная f’(х) функции y=f(x) сама является некоторой функцией аргумента х. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной.

Назовем f' (х) производной первого порядка.

Производная от производной некоторой функции называется производной второго порядка (или второй производной). Производная от второй производной называется производной третьего порядка (или третьей производной) и т. д. Производные начиная со второй называются производными высшего порядка и обозначаются у", у'", y⁽⁴⁾, у⁽⁵⁾, ..., у⁽ⁿ⁾ ,..., илиf"(х), f'"(x), f⁽⁴⁾(x), f⁽⁵⁾(x), ..., f⁽ⁿ⁾(x)…

Производная n-го порядка есть производная от производной (n-1)-го порядка, т.е. у⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))’.

Производные n-х порядков функции: y=sinx, y=cosx, y=ln(x+1), y=(1+x)² (x>0)

1)Вычислим n-ю производную функции y= sinx. Последовательно дифференцируя, имеем

y’=cosx=sin(x+ ), y⁽²⁾= - sinx=sin(x+ )=sin(x+2 ), y⁽³⁾= - cosx= sin(x+3 ), ….., y⁽ⁿ⁾=sin(x+n ).

Таким образом, производную любого порядка от sinx можно вычислить по формуле

(sinx)⁽ⁿ⁾=sin(x+n )

2. Аналогично получается формула n-й производной функции y = cosx:

(cosx)⁽ⁿ⁾=cos(x+n ).

2. Вычислим n-ю производную функции y=ln(x+1) . Последовательно дифференцируя, имеем

y’= , y’’= - , y’’’= , y⁽⁴⁾= , … ,

4) y=(1+x)² : y’=2(x+1), y’’=2, y’’’=0

26. Производная n-го порядка произведения двух функций.

Пусть y=uv, где u и v—некоторые функции от переменной х, имеющие производные любого порядка. Тогда у' = u’v+uv’,

у" =u"v + u'v' + u'v' + uv" = u"v + 2u'v' + uv’’,

y’’’= u’’’v+u’’v’+2u’’v’+2u’v’’+u’v’’+uv’’’=u'"v + 3u"v' + 3u'v" + uv'".

Таким образом, мы видим, что правые части разложений напоминают разложения различных степеней бинома (а + b)ⁿ по формуле бинома Ньютона, но вместо показателей степени стоят числа, определяющие порядок производных, а сами функции u и v можно рассматривать как «производные нулевого порядка» u⁽⁰⁾ и v⁽⁰⁾ . Учитывая это, запишем, по аналогии, общий вид n-й производной произведения двух функций

Y⁽ⁿ⁾=(uv)⁽ⁿ⁾=u⁽ⁿ⁾v+nu^(n-1)v’+ u^(n-2)v’’+…+ u^(n-k)v^(k)+…+uv⁽ⁿ⁾ (1)

Формула (1) называется формулой Лейбница.

27. Дифференциалы высших порядков.

Пусть функция f(x) дифференцируема в каждой точке х некоторого промежутка, тогда ее дифференциал dy=f’(x)dx, который назовем дифференциалом первого порядка, является функцией двух переменных: аргумента х и его дифференциала dx. Пусть функция f'(х), в свою очередь, дифференцируема в некоторой точке х. Будем рассматривать dx в выражении для dy как постоянный множитель. Тогда функция dy представляет собой функцию только аргумента х и ее дифференциал в точке х имеет вид

(dy) = [f' (х) dx] = [f' (х) dx]' х =f" (х) dx х.

Дифференциал (dy) от дифференциала dy в некоторой точке х, взятый при x = dx, называется дифференциалом второго порядка функции f(x) в точке х и обозначается d²y, т. е. d²y =f"(x)(dx)².

В свою очередь, дифференциал (d²y) от дифференциала d²y, взятый при x = dx,, называется дифференциалом третьего порядка функции f(x) и обозначается d³y и т. д. Дифференциал (d^(n-1)y) от дифференциала d^n-1y, взятый при x=dx, называется дифференциалом n-го порядка (или n-м дифференциа- лом) функции f(x) и обозначается dⁿy.