3.Робота сили електростатичного поля

На позитивний точковий заряд q в електричному полі з напруженістю E діє сила F = q E. При переміщенні заряду на відрізку dl силами поля відбувається робота

dA = F dl = q E dl cos (E, dl)

При переміщенні заряду q силами електричного поля на довільному кінцевому відрізку з точки 1 в точку 2 ця робота дорівнює

Розглянемо переміщення точкового заряду q в поле точкового заряду Q, напруженість поля якого

Проекція відрізка dl на напрямок вектора E є dr = dl cos (E, dl).

Робота, що створена електричним полем при переміщенні заряду q із точки 1 в точку 2, визначається таким чином:

Звідси випливає, що робота сил електричного поля не залежить від форми шляху, а визначається тільки початковим і кінцевим положеннями заряду q. Якщо обидва заряду, q і Q, позитивні, то робота сил поля позитивна при віддаленні зарядів і негативна при їх взаємному зближенні.

Для електричного поля, створеного системою зарядів Q1, Q2, ¼, Qn, робота переміщення заряду q дорівнює алгебраїчній сумі робіт складових сил:

Таким же чином, як і кожна зі складових робіт, сумарна робота залежить тільки від початкового і кінцевого положень заряду q.

4. Потенціалом

   будь-якої точки електростатичного поля називають фізичну величину, яка числово дорівнює потенціальній енергії одиничного позитивного заряду, поміщеного в цю точку.

Одиниця потенціалу – вольт.  1В – це потенціал такої точки поля, в якій заряд в 1 Кл  має потенціальну енергію в 1Дж.

Потенціал поля, створеного одним точковим зарядом q у вакуумі, дорівнює:

.

Якщо заряд   з точки з потенціалом   віддаляється в нескінченність  , тоді робота сили поля буде дорівнювати  . Звідси

.

Потенціал даної точки електростатичного поля – це така фізична величина, яка числово дорівнює роботі, яку виконують зовнішні сили (проти сил електростатичного поля) при переміщенні одиничного позитивного заряду з нескінченності в дану точку поля.

Потенціал поля, яке створюється системою зарядів, дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів, створених кожним із зарядів зокрема:

 .

Нехай маємо заряд q в електростатичному полі. Переміщаючи його в просторі, електричне поле виконає деяку роботу (розглядаємо для простоти переміщення вздовж осі Х). Величина цієї роботи визначається за формулою

.

З іншого боку, робота при переміщенні заряду q в електростатичному полі виражається через потенціали цього поля  . Отже, елементарна робота становитиме:

.

Тоді, прирівнявши елементарні роботи, отримаємо:

,

Знак “–“ означає, що під дією сил електричного поля заряд переміщується в бік зменшення потенціалу.

Аналогічні міркування можна поширити і на напрямки переміщень вздовж осей Y i Z

Отже, ми знайшли та – компоненти вектора напруженості E:

Це рівняння можна переписати так:

.

У векторному аналізі градієнтом скалярної величини   називається така векторна величина, для якої справедливий запис:

.

Отже,

.

Знак "–" вказує на те, що вектор E напруженості поля напрямлений в бік найшвидшого зменшення потенціалу. Напруженість в якій-небудь точці електростатичного поля дорівнює градієнту потенціалу в цій точці, взятому з оберненим знаком.

Знаючи потенціал   в кожній точці поля, за формулою   можемо обчислити напруженість в кожній точці поля. Можна розв'язати і обернену задачу, тобто знаючи напруженість поля в кожній точці поля, можна знайти різницю потенціалів між двома довільними точками.

1)Різниця потенціалів поля рівномірно зарядженої нескінченної площини з поверхневою густиною зарядуа σ.

2)Різниця потенціалів поля  двох нескінченних паралельних різнойменно заряджених площин з поверхневою густиною заряду σ.

Якщо х₁ = 0; х₂ = d , то   или 

3)Різниця потенціалів поля рівномірно зарядженої сферичної поверхні радіуса R.

Якщоr₁ = r, r₂ → ∞, то потенціал поза сферою

Усередині сферичної поверхні потенціал усюди однаковий і рівний

 

 

 Різниця потенціалів поля об'ємно зарядженої кулі радіуса R із загальним зарядом Q.

Поза кулею    r₁, r₂ > R,

Усередині кулі 

 

4)Різниця потенціалів поля рівномірно зарядженого циліндра (або нескінченно довгої нитки).

r > R:

5,6