Расчет информационных потерь и эффективности обнаружения

Аппаратура, расположенная на приемном конце линии, кроме всего прочего, включает в себя систему контроля и обнаружения НСД. В задачу этой системы входит наблюдение за состоянием линии, контроль принимаемого сигнала и принятие решения о наличии НСД на основе этих данных. Как и для любой системы наблюдения, введем для такой системы следующие показатели эффективности:

• вероятность обнаружения – P_обн;

• вероятность ложного срабатывания – P_л;

• объем информации, перехватываемой нарушителем – k (бит).

Если значения этих показателей лежат в рамках допустимых порогов, то данная система является эффективной.

Попытаемся проанализировать работу такой системы и выяснить, какие факторы влияют на ее эффективность.

Обозначим через s₀ состояние ВОЛС в отсутствие НСД, а через s₁ - состояние ВОЛС при НСД. Задачей системы контроля является определение момента изменения состояния ВОЛС.

Сигнал, поступающий на вход легального приемника, представляет собой последовательность бит, выраженных в виде импульсов света. Параметрами этих импульсов являются их длительность, уровень оптической мощности, а также функция распределения этой мощности. Подключение к линии устройств НСД, несомненно, вызовет изменения в этих параметрах. Принимаемая оптическая мощность снизится, соответственно, изменится и ее распределение.

Фотодетектор в легальном приемнике ВОЛС работает с достаточно мощными оптическими сигналами, и потому соотношение «сигнал/шум» для него будет большим². Можно провести анализ его работы при этих условиях, и тогда будет найдена зависимость между изменением принимаемой оптической мощности и вероятностями обнаружения и ложного срабатывания.

Введем величину y_i - параметр уровня сигнала в i-й момент времени. Она будет распределяться по нормальному закону:

, где _i, _i - математическое ожидание и дисперсия случайной величины y_i

Сумма величин y_i, которая вычисляется в системе контроля для всех y_i, cоответствующих положительным импульсам, обозначается через Z и сравнивается с порогом :

,где N - интервал анализа.

По результатам такого сравнения принимается решение о наличии НСД. Если НСД не обнаруживается, то этот процесс повторяется для следующего интервала N. Графически этот процесс можно изобразить следующим образом:

Рис.16. Диаграмма процесса обнаружения НСД.

На этой диаграмме изображен примерный процесс функционирования системы контроля. Последовательность принимаемых бит разбивается на равные интервалы анализа длительностью N бит. На рисунке таких интервалов изображено несколько: N₁…N₅. В какой-то момент начинается съем информации с линии. Этот момент приходится на некоторый бит интервала N₂. Начиная с этого бита, все остальные биты имеют уже изменившиеся вследствие появления НСД параметры. Контроль этих параметров приводит к тому, что на интервале N₅, отстоящем от интервала N₂ в общем случаем на Т интервалов, система обнаруживает НСД.

Можно легко понять, какую величину составят при этом потери информации в битах. Если m - число бит, потерянных на первом после появления НСД интервале (в нашем примере это N₂), то общее количество потерь в битах будет равно:

,где J_op - время, требующееся для распространения информации о сигнале «НСД».

На практике обычно J_op << NT, поэтому можно использовать соотношение:

Однако, если при заданной вероятности ложной тревоги вероятность пропуска на одном интервале весьма мала, то на практике можно ограничиться одним интервалом анализа. Если же эта вероятность велика, то достаточно увеличить значение N, то есть длину интервала, в то же время не выходя за его пределы. При минимизации значения N, которое будет обеспечивать заданные Р_л и Р_обн, достаточно выбора одного интервала для анализа. В этом случае, даже если НСД начнется посередине предыдущего интервала и не будет обнаружен, он будет обнаружен на следующем, и потери информации не превысят величины

В этом случае для вычисления значений Р_л и Р_обн можно по-прежнему использовать выражения, полученные в работе [14], поскольку величина Z также имеет гауссовское распределение с дисперсией ₁²/N и математическим ожиданием ₁.

При появлении НСД оптическая мощность снижается, и математическое ожидание величины Z становится равным ₁^н, а ее дисперсия - ₁н²/N. Эту ситуацию можно отобразить на графике:

Рис.17. График распределения вероятности для оптической мощности на легальном приемнике при наличии и отсутствии НСД.

Из графика видно, что система обнаружения произведет ложное срабатывание, если при отсутствии НСД уровень мощности вдруг станет меньше порогового значения . Аналогично, факт НСД будет пропущен, если уровень мощности при производимом НСД окажется больше этого порога. Из этих соображений можно написать следующие значения для вероятностей ложной тревоги и обнаружения:

,где ₁^н, ₁^н2 – математическое ожидание и дисперсия случайных величин y_i при наличии НСД.

Для простоты предположим, что

P_л1-P_обн

Такое предположение мы делаем на основании той мысли, что все срабатывания системы контроля, не являющиеся следствием появившегося НСД, являются ложными. Но в то же время

1-Pобн = Pпроп

,где P_проп – вероятность пропуска НСД.

Поэтому, приравняв Р_л и Р_проп, можно рассчитать их как функции от N, ₁ и ₁^н, причем так, что эти вероятности будут монотонно убывать при увеличении N и при увеличении разности ₁-₁^н, которая соответствует изменению уровня мощности вследствие появления НСД.

Перепишем выражение для Р_л и Р_обн, упростив их:

,где ;

Аналогично,

,где ;

Если Р_л=Р_проп, то, приравняв полученные выражения, можно с точностью до знака приравнять и граничные значения

Отсюда найдем значение порога

Если теперь это выражение для порога подставить в выражение для вероятностей Р_л и Р_проп, то получим

Упростив это выражение, получим:

Если теперь ввести обозначение

подобно тому, как мы делали это в предыдущей главе, то искомая функция примет вид:

Величины ₁, ₁^н в этом выражении есть ни что иное, как математическое ожидание распределения оптической мощности входного сигнала. Что же касается дисперсии, то, поскольку она определяется шумом, то ее изменение в зависимости от наличия или отсутствия НСД незначительно, и можно написать:

Полученное выражение связывает такие величины, как вероятность ложного срабатывания P_л (которая равна вероятности пропуска), величину отведенной при НСД мощности ₁^н, а также величину потерь информации при обнаружении НСД N. Задавшись какой-либо фиксированной величиной вероятности пропуска, можно построить зависимость потерь информации от потерь мощности при НСД. Обычно эффективность работы системы контроля признается удовлетворительной, если она обеспечивает 1 пропуск на 1000 обнаружений факта НСД, что соответствует вероятности пропуска, равной 0,001.

Ниже приведены графики этих зависимостей. Они построены для случая, когда уровень принимаемой мощности в отсутствие НСД составляет 500 мкВт. Дисперсия шума рассчитывается по аналогии с дисперсией для теплового шума в предыдущем разделе.

Рис.18. График зависимости вероятности пропуска от величины потерь мощности при трех фиксированных значениях информационных потерь.

Рис.19. График зависимости вероятности пропуска от величины информационных потерь при трех разных значениях потерь мощности:

Данные, полученные нами в этой части главы, помогут в дальнейшем рассчитать величину информационных потерь для заданного уровня отведенной мощности.