6.5 Крайова задача для рівняння еліптичного типу

Крайова задача для рівняння еліптичного типу полягає у знаходженні функції класу , що задовольняє в області рівняння (6.3) і граничній умові на (мішана задача), має вигляд

, (6.46)

де і – задані кусково-неперервні функції на причому . Виділяють наступні типи граничних умов.

Гранична умова першого роду

(6.47)

гранична умова другого роду

(6.48)

гранична умова третього роду

(6.44)

Відповідні крайові задачі називаються крайовими задачами першого, другого і третього роду.

Для рівнянь Лапласа (6.6) та Пуассона (6.7) крайова задача першого роду

(6.49)

називається задачею Діріхле; крайова задача другого роду

(6.50)

називається задачею Неймана.

Аналогічно ставляться зовнішні крайові задачі для рівняння (6.3). Відмінність полягає у тому, що, окрім граничної умови (6.47) на межі області задаються ще умови на нескінченності

Контрольні питання

1. Який вигляд мають рівняння Лапласа та Пуассона?

2. Які процеси описують рівняння еліптичного типу?

3. Які умови однозначності визначення розв’язків ставляться для рівняння еліптичного типу?

4. Як називаються перша та друга крайові умови для рівняння еліптичного типу?

5. Який вигляд має рівняння Лапласа на площині у прямокутній та полярній системах координат?

6. Які функції задовольняють рівнянню Лапласа?

7. Які властивості мають гармонічні функції?

8. Який вигляд має фундаментальний розв’язок рівняння Лапласа на площині у полярній системі координат та у просторі у сферичній системі координат?

9. Сформулюйте внутрішню та зовнішню задачу Діріхле для круга.

10. З якими полями пов'язаний розв’язок рівняння Лапласа та Пуассона в електростатиці?

11. Який вигляд має перша та друга формули Гріна?

12. У чому полягає умова циклічності в задачі Діріхле для круга?

13. Який вигляд мають граничні умови для рівняння еліптичного типу?

14. Розв’язати внутрішню задачу Діріхле для круга

9.1 ;

9.2 ;

9.3 ;

10. Знайти функцію гармонічну зовні одиничного круга , що задовольняє умові :

10.1 ;

10.2 ;

10.3 ;

10.4 .

11. Знайти функцію гармонічну у кільці , що задовольняє умові , :

11.1 ;

11.2 ;

11.3 ;

127