6.4 Задача Діріхле для круга

Ми вже зазначали, що різні фізичні процеси з математичної точки зору можуть бути абсолютно подібними. Тому в математичній фізиці прагнуть розробити єдині методи розв’язку задач, що об'єднують аналогічні проблеми.

З таким положенням ми вже зустрічалися при розв’язанні задачі Коші для хвильового рівняння. Іншою типовою задачею такого роду є задача Діріхлє: знайти функцію (неперервну разом зі своїми похідними до другого порядку в заданій області ), що задовольняє рівнянню Лапласа та обертається на її межі на задану функцію координат.

Розглянемо частинний випадок задачі Діріхле.

Знайти розподіл температури в області – круглій пластині радіусом якщо на колі , що її обмежує, підтримується стала температура, яка залежить від координати точки на колі . Іншими словами, необхідно знайти неперервну функцію , що задовольняє у точках круга рівняння та крайову умову .

Задачу найбільш просто розв’язувати у полярній системі координат. Рівняння Лапласа у полярній системі координат має вигляд

(6.23)

Відповідно крайова умова має вигляд

(6.24)

Згідно з методом Фур’є шукатимемо розв’язок рівняння (6.23) у вигляді добутку двох функцій

(6.25)

Визначаємо звідси і підставляємо їх до (6.23), отримаємо

(6.26)

Помножимо останню рівність на ;

(6.27)

Оскільки ліва та права частини рівняння (6.27) залежать від різних незалежних змінних, то така рівність можлива тільки у випадку, коли обидві частини дорівнюють одній і тій же сталій, яку позначимо через . Тоді ми приходимо до двох звичайних диференціальних рівнянь

(6.28)

(6.29)

1. Якщо , то загальний розв’язок лінійного рівняння (6.29) має вигляд

(6.30)

Визначимо, яким повинен бути параметр . Для цього насамперед використовуємо так звану “умову циклічності”, характерну для криволінійних координат. Вона полягає у тому, що гранична функція і шуканий розв’язок повинні бути періодичними за змінною , тобто

Звідси, очевидно, випливає, що і функція повинна задовольняти умову циклічності

. (6.31)

Але оскільки є лінійною комбінацією функцій і , то для виконання умови (6.31) повинна мати місце рівність

Це означає, що параметр повинен бути цілим числом (де ). З урахуванням цієї обставини отримуємо згідно з (6.30) множину функцій

(6.32)

Приступимо до розв’язання лінійного рівняння (6.28) зі змінними коефіцієнтами. Підставляючи до (6.28) замість його значення , отримуємо

. (6.33)

Це – диференціальне рівняння типу Ейлера, характерною властивістю членів якого є рівність добутку степеня незалежної змінної порядку похідної. Його частинний розв’язок шукаємо у вигляді

,

де – поки довільна стала. Знайшовши похідні та , підставляємо їх до рівняння (6.33). Після скорочення на загальний множник приходимо до рівняння або .

Звідси .

Отже, для кожного цілого значення коефіцієнта рівняння (6.33) має свій загальний розв’язок

(6.34)

Але оскільки нас цікавлять лише неперервні та обмежені функції, то слід узяти у (6.34) ( інакше у точці коефіцієнт обернеться на нескінченність).

Отже, розв’язок що задовольняє фізичні умови рівняння (6.33), має вигляд

(6.35)

Підставивши отримані значення та до (6.25), отримаємо множину функцій

, (6.36)

де - коефіцієнти, що задовольняють початкове рівняння (6.23), а також природні фізичні умови періодичності (однозначності) й неперервності. Щоб цей розв’язок задовольняв граничну умову (6.24), складемо нескінченну суму

(6.37)

та виберемо коефіцієнти і так, щоб для цей ряд був збіжним до функції , а саме

(6.38)

Це можливо у тому випадку коли коефіцієнти та будуть коефіцієнтами Фур’є функції з множником

, (6.39)

де і - коефіцієнти Фур’є при відповідних косинусах та синусах ряду, причому

, ,

Порівнюючи (6.38) та (6.39) робимо висновок, що для виконання крайової умови (6.24) потрібно взяти

, .

Таким чином, розв’язок внутрішньої задачі Діріхле для круга можна записати у вигляді

(6.40)

3. Якщо , то рівняння (6.28) має вигляд , а загальні розв’язки рівнянь (6.28), (6.29)

(6.41)

Тут потрібно покласти , інакше не буде виконуватись умова періодичності.

Отже, функції

(6.42)

є частинними розв’язками рівняння (6.6) на площині у полярній системі координат.

Нехай область є зовнішньою частиною круга радіусом , тобто . Тоді у силу обмеженості шуканого розв’язку частинними розв’язками зовнішньої задачі на межі області будуть розв’язки

, (6.43)

а загальним її розв’язком буде

(6.44)

Коефіцієнти та визначаються із відповідної крайової умови.

1. Нехай область кільце, обмежене концентричними колами та . Тоді розв’язок задачі можемо записати у вигляді

, (6.45)

коефіцієнти якого визначаються із відповідних крайових умов, заданих на межах області

Приклад 6.1

Усередині кільця розв’язати крайову задачу

, , .

Розв’язок. Шукаемо розв’язок даної задачі у вигляді (6.45). З граничної умови маємо

,

звідки , ,

( ), ( ).

З граничної умови маємо

Звідки

, ,

( ), ( ).

Ці рівняння об’єднуємо у системи

Їх розв’язок має вигляд

Розв’язок задачі має вигляд