6 Рівняння еліптичного типу
6.1 Рівняння Лапласа
Рівняння еліптичного типу описують стаціонарні фізичні процеси та явища, що не змінюються в часі. Це означає, що такі процеси залежать лише від зміни просторових координат. Розглянемо деякі постановки задач, що приводять до рівнянь еліптичного типу.
1. Як
відомо з математичного аналізу, рух
рідини, що не стискається та не містить
джерел, можна задати у вигляді поля
швидкостей або у вигляді градієнта
деякої функції
.
,
(6.1)
де
–
скалярна функція, що називається
потенціалом швидкості (векторного
поля). Якщо відсутні джерела, то
або маємо умову нестисненості рідини
у векторній трубці у вигляді
(6.2)
2. Рівняння
описує
нестаціонарне температурне поле. Якщо
процес стає стаціонарним, отже не
залежить від часу, то таке температурне
поле описується рівнянням
.
Нехай
– область, де відбувається фізичний
процес, а
–
її межа, яку вважається кусково-гладкою
поверхнею. Область зміни аргументів -
множина точок
області
,
є областю визначення рівняння.
У найбільш загальному вигляді рівняння
еліптичного типу можна записати у
вигляді
(6.3)
Уважаємо,
що коефіцієнти
та
у рівнянні (6.3) залежать тільки від
просторових координат. Для одновимірних
задач, відповідно до їх фізичного змісту,
припускаємо, що
.
Крім того, відповідно до математичного
змісту рівняння (6.3) необхідно вважати,
що
та
.
Якщо у
рівнянні (6.3) покласти
,
то отримаємо найпростіший вигляд
рівняння еліптичного типу у прямокутній
системі координат
(6.4)
Рівняння (6.4) називається рівнянням Лапласа, а диференціальний оператор
(6.5)
називається оператором Лапласа, або лапсасіаном. Тому скорочено рівняння (6.4) можна записати у вигляді
(6.6)
Рівняння Лапласа виникає у багатьох розділах науки та техніки – таких, як електротехніка, теплові задачі, задачі дифузії та океанознавства, астрофізика та ін.
Основними
методами розв’язку задач для рівняння
Лапласа є методи теорії потенціалу та
метод функцій Гріна. Якщо область має
кругову або сферичну симетрію, то для
розв’язання задач для рівняння Лапласа
можна застосовувати метод поділу змінних
Фур’є. Розрізняють внутрішню та зовнішню
задачі для рівняння Лапласа. Якщо
розв’язок шукають усередині обмеженої
області
,
то говорять про внутрішню крайову
задачу, а якщо зовні, то мова йде про
зовнішню крайову задачу.
Визначення.
Будь-яка функція
неперервна та двічі диференційована в
області
,
що задовольняє рівнянню Лапласа (6.6) та
неперервна на її межі
називається гармонічною функцією.
Рівняння (6.6) описує фізичні процеси за відсутності в області джерел енергії (збурень). Якщо в області існують джерела збурень, то ми маємо рівняння Пуассона
(6.7)
За
допомогою такого рівняння описується
електростатичне поле, потенціал якого
можна записати у вигляді рівняння
,
де
-
щільність зарядів, що породжують це
поле.
Розв’язання задач, пов’язаних з рівнянням Лапласа та Пуассона приводить до знаходження потенціалу векторного поля.