5.7 Охолодження тонкої пластини

Задача 5.5

Знайти розподіл температури у тонкій пластині завтовшки (товщина значно менша за довжину та ширину), якщо в початковий момент часу температура пластини була розподілена згідно із законом . Відомо, що втрати тепла з поверхні пластини відбуваються за законом Ньютона, тобто

,

де – коефіцієнти теплопровідності та тепловіддачі у навколишнє середовище відповідно. Необхідно визначити температуру в довільній точці пластини у будь-який подальший момент часу.

Необхідно знайти функцію , що задовольняє одновимірне рівняння теплопровідності

(5.86)

і умови

, (5.87)

. (5.88)

Уведемо нову незалежну змінну Тоді рівняння (5.86) спрощується

. (5.89)

Шукаємо його розв’язок методом поділу змінних у вигляді

. (5.90)

Підставляючи (5.90) до (5.86), отримуємо задачу Штурма – Ліувілля для диференціального рівняння другого порядку

(5.91)

де , та задачу Коші для рівняння першого порядку

(5.92)

Розв’язок їх можна записати у вигляді

(5.93)

(5.94)

де – коефіцієнти, що підлягають визначенню.

Підставляючи крайові умови до рівняння в (5.6), отримуємо рівність для визначення коефіцієнтів та у вигляді

. (5.95)

Звідси випливає, що коефіцієнт у розв’язку (5.93) дорівнює нулю й функція набуває вигляду

. (5.96)

Далі для визначення власних значень розглянемо рівняння, яке отримуємо з (5.95), підставляючи нуль замість

. (5.97)

Рівність (5.97) є трансцендентним рівнянням щодо невідомого . Шукатимемо його розв’язок графічним способом.

Рисунок 5.3

Позначимо і побудуємо в системі координат графіки кривих і (рис. 5.3). Зрозуміло, що гіпербола перетне сімейство танґенсоїд нескінченне число разів. Це означає, що рівняння (5.97) має нескінченну множину коренів, причому із зростанням точки перетину наближаються до , (де ), оскільки . Оскільки є коренями рівняння (5.97) то множина функцій повинна задовольняти граничну умову (5.88)

. (5.98)

Підставляючи (5.98) і (5.94) до (5.90), отримуємо множину функцій

.

Ці функції задовольняють рівнянню (5.86) та граничній умові (5.88). Щоб отримати розв’язок, що задовольняє ще і початкову умову (5.87), складаємо нескінченну суму

. (5.99)

З'ясуємо тепер, які повинні бути коефіцієнти , щоб при ряд , був збіжним до заданої функції , тобто щоб

. (5.100)

У всіх попередніх прикладах ми стикалися з розкладанням функції в ряд за синусами і косинусами кратних аргументів, тобто з рядами Фур’є. У лівій частині ж рівності (5.100) записана нескінченна сума косинусів, арґументи яких відрізняються між собою множниками які не цілочисельні.

Можна продемонструвати, що функції є взаємно ортогональними, тобто

.

З іншого боку, вони ненормовані

.

Із зростанням цей інтеграл прямує до оскільки . З теорії рядів Фур’є відомо, що довільну функцію можна розкласти в ряд за допомогою множини базисних ортогональних ненормованих функцій у вигляді

,

де узагальнені коефіцієнти Фур’є , які визначаються за формулою

. (5.101)

Таким чином, для виконання умови (5.100) необхідно щоб довільні числа були узагальненими коефіцієнтами Фур’є

. (5.102)

Виконуючи асимптотичну заміну , формулу (5.102) можна записати у вигляді

. (5.103)

Підставляючи тепер значення (5.102), (5.103) до (5.99), отримуємо розв’язок задачі (5.86) - (5.88) у вигляді

(5.104)

Контрольні питання

1. Який вигляд має канонічне рівня рівняння теплопровідності?

2. До якого типу рівнянь належить рівняння теплопровідності?

3. Які умови ставлять для знаходження однозначного розв’язку рівняння теплопровідності?

4. Якими методами розв’язуються рівняння теплопровідності?

5. Які крайові умови ставлять для рівняння теплопровідності?

6. У яких випадках застосовується метод поділу змінних Фур’є?

7. Що таке редукція розв’язку задачі для рівняння теплопровідності?

8. Як розв’язується однорідна крайова задача для рівняння теплопровідності?

9. Як розв’язується неоднорідна крайова задача для рівняння теплопровідності?

10. Який вигляд має задача Штурма – Ліувілля однорідної крайової задачі для рівняння теплопровідності?

11. Розв’язати наступні крайові для рівняння теплопровідності :

11.1 ;

11.2 ;

11.3 ;

11.4 ;

11.5 ;

11.6 ;

11.7 ;

11.8

11.9 ,

;

11.10 ,

.

113