5.4 Розв’язання рівняння теплопровідності методом поділу змінних

Розглянемо задачу. Маємо нескінченно тонкий циліндр довжиною , з тепло ізольованою бічною поверхнею, обидва кінці якого знаходяться у холодній воді з льодом при температурі . У початковий момент часу його температура є функцією координати . Джерела та стоки тепла у циліндрі відсутні.

Необхідно знайти температуру в будь-якій точці циліндра у будь-якій довільний момент часу.

Запишемо задачу у аналітичному вигляді. Оскільки циліндр тонкий, то рівняння для визначення температурного розподілу можна скласти із наступних міркувань. Рівняння одновимірне. Направимо вісь уздовж осі стрижня. Тоді рівняння (5.9) можна записати у вигляді

(5.16)

Крайові умови при цьому мають наступний вигляд.

Початкова умова . (5.17)

Граничні умови . (5.18)

Візьмемо для зручності у рівнянні (5.16) . Якщо ні, то до нього можна прийти заміною змінних . Початкова умова при цьому залишається незмінною. Після заміни змінної задача (5.16) – (5.18) набуває вигляду

, (5.19)

, (5.20)

. (5.21)

Будемо шукати функцію , як і у випадку коливань струни у вигляді добутку двох функцій, кожна з яких залежить від однієї змінної.

. (5.22)

Тоді . (5.23)

Підставивши до (5.19), маємо:

,

або, поділивши змінні на , будемо мати:

(5.24)

Як і у випадку з хвильовим рівнянням бачимо, що така рівність можлива за умови, що ліва та права частини рівняння (5.24) є сталими величинами. Отже,

.

Звідси маємо два звичайні диференціальні рівняння

(5.25)

(5.26)

Приєднавши до рівняння (5.25) граничні умови (5.21), отримаємо задачу Штурма – Ліувілля для звичайного диференціального рівняння

Її розв’язок має вигляд

, (5.27)

. (5.28)

Зрозуміло, що функція

(5.29)

задовольняє рівнянню (5.19), але при цьому залишаються невідомими коефіцієнти . Знайдемо їх із умови (5.20), (5.21). Поклавши у (5.27) та скориставшись умовою (5.21), отримаємо власні значення та власні функції задачі Штурма -Ліувілля

.

Звідси . Для . Отже,

, (5.30)

де – довільні сталі, що задовольняють умову (5.21). Числа називаються власними числами або власними значеннями задачі (5.25), (5.21), а функції – її власними функціями.

Підставивши значення до (5.28), отримаємо множину частинних розв’язків

. (5.31)

Добуток функцій є функція двох змінних і задовольняє умову (5.21)

, (5.32)

де .

Для знаходження остаточного розв’язку задачі необхідно так вибрати коефіцієнти , щоб вони задовольнили умову (5.20).

Для функції повинні задовольняти початкову умову . Жодне значення не задовольняє цю умову. Їй буде задовольняти ряд складений із частинних розв’язків (5.32), сума якого задовольняє рівняння (5.19)

. (5.33)

Якщо ряд (5.33) збіжний і його можна диференціювати, то він теж буде розв’язком рівняння (5.19) і задовольняти умову (5.20). Щоб розв’язок (5.33) задовольняв умову (5.20), необхідно, щоб були коефіцієнтами Фур’є функції

.

Отже, . (5.34)

За цієї умови розв’язком задачі (5.19), що задовольняє умову (5.21), буде функція

. (5.35)

Замінимо позначення незалежної змінної у співвідношенні (5.34), записавши у вигляді

. (5.36)

та підставимо його до ряду (5.35). Повертаючись до змінної , будемо мати

(5.37)

Зміна порядків підсумовування та інтеґрування допустима для , тому що ряд у квадратних дужках рівномірно збіжний за для .

Позначивши

, (5.38)

функцію в (37) можна записати у вигляді

. (5.39)

Інтеграл (5.39) називається інтегралом Пуассона.

Функція називається функцією миттєвого точкового джерела, або функцією температурного впливу миттєвого точкового джерела тепла. Функцію можна розглядати як функцію змінної , що характеризує розподіл температури у циліндрі у момент часу , якщо температура при і в цей момент у точці миттєво виділилась певна кількість тепла, а на кінцях циліндра весь час підтримувалась нульова температура.

Властивість: для .

Отже, щоб розв’язати задачу теплопровідності з однорідними граничними умовами, необхідно визначити власні значення і власні функції задачі Штурма - Ліувілля та підставити їх до розв’язку (5.37) або (5.39). Функцію називають функцією Гріна задачі (5.16)–(5.18).

Для рівняння (5.25) можуть існувати інші більш складні граничні умови – такі, як або та інші.

Теорема 5.2 Розв’язок рівняння теплопровідності

, (5.40)

який задовольняє умови (5.20), (5.21)

, (5.41)

неперервний у замкнутій області , обертається на нуль для та визначається однозначно у вигляді

,

де довільна неперервна функція.

Зауваження. Функція може бути кусково-неперервною.

Приклад 5.1

Розв’язати першу мішану задачу для рівняння теплопровідності на відрізку

Розв’язок.

1. Згідно алгоритму власні значення та власні функції задачі мають вигляд

Загальний розв’язок рівняння має вигляд

2. Отже, частинні розв’язки рівняння мають вигляд

3. Розв’язок задачі шукаємо у вигляді (5.33)

.

Ця функція є розв’язком рівняння та задовольняє граничні умови при будь-яких , при яких ряд збіжний.

4. Знаходимо коефіцієнти такі, щоб функція задовольняла початкову умову , яку запишемо у вигляді

Поклавши у (5.33) , отримуємо

.

Звідси

Підставляючи значення коефіцієнтів до формули (5.33), отримуємо розв’язок задачі

Відповідь:

Приклад 5.2

Знайти розв’язок задачі , , , .

Розв’язок. Маємо задачу (5.19)-(5.21), в умовах якої та .

Скориставшись формулою (5.35) обчислюємо коефіцієнти

= . Отже, якщо ( ), то , а якщо ( ), то .

Підставивши значення знайдених коефіцієнтів до формули (5.35), отримуємо розв’язок даної задачі

.