
- •5 Рівняння параболічного типу
- •5.1 Основні поняття
- •5.2 Постановка крайових задач
- •5.3 Принцип максимуму
- •5.4 Розв’язання рівняння теплопровідності методом поділу змінних
- •5.5 Неоднорідне рівняння теплопровідності з однорідними умовами
- •5.6 Неоднорідне рівняння теплопровідності з неоднорідними умовами
- •5.7 Охолодження тонкої пластини
5 Рівняння параболічного типу
5.1 Основні поняття
Найбільш характерними представниками рівнянь параболічного типу є рівняння теплопровідності та дифузії. Розглянемо перше із них.
Розглянемо|розгледимо|
довільний об’єм|
,
обмежений поверхнею
деякого теплопровідного тіла, у кожній
точці якого задана температура
,
що залежить від координат та часу. Якщо
в області
температура
,
то в ньому відбувається перерозподіл
тепла. Розповсюдження тепла відбувається
від більш теплих точок середовища до
більш холодних. Основним законом
поширення тепла у просторі є перший
закон теплопровідності Фур'є.
Перший
закон теплопровідності Фур'є. Кількість
тепла (потік)
,
що проходить через одиницю|поодинокий|
площі за одиницю часу, пропорційна до
нормальної похідної від температури
.
(5.1)
Знак “мінус” означає, що тепло поширюється у напрямі, протилежному до нормалі, а нормаль, як відомо, указує напрям зростання функції, у даному випадку температури .
Нехай
в області
діють
джерела тепла об’ємною щільністю
Тоді кількість тепла
,
що виділяється цими джерелами в об’ємі
|
за проміжок часу
визначається за формулою
або
у вигляді інтеґрала
.
(5.2)
Згідно із законом збереження|зберігання| енергії це тепло частково накопичується в об’ємі за рахунок його теплоємності, а частково втрачається|розгублюється| через поверхню за рахунок теплообміну з навколишнім середовищем.
Накопичення об’ємної енергії |можна записати у вигляді
|виді|
,
де
– відповідно теплоємність і щільність
середовища, що розігрівається, або у
інтеґральній формі
(5.3)
де
– диференціал об’єму.
Втрату
тепла через поверхню
,
що обмежує об’єм
можна записати у вигляді
(5.4)
де
–
щільність потоку тепла через поверхню
або
(5.5)
де
– одиничний|поодинокий|
орт зовнішньої до
нормалі.
Скориставшись формулою Гауса - Остроградського
рівність (5.4) можна записати у вигляді
.
Баланс тепла області означає, що кількість тепла накопиченого у об’ємі дорівнює сумі тепла, виділеного джерелами та втраченого через поверхню у навколишнє середовище
,
або у інтеґральній формі в прямокутній системі координат
.
(5.6)
У зв’язку з тим, що об’єм і проміжок часу довільні, інтеґральна рівність (5.6) можлива тоді й тільки|лише| тоді коли вираз, що знаходиться|вираження| під знаком інтеграла у (5.6), дорівнює нулю
(5.7)
У
загальному|спільному|
випадку, коли характеристики
та
залежать від температури та її ґрадієнта
співвідношення, (5.7) є квазілінійним
диференціальним рівнянням з частинними
похідними параболічного типу. Перетворимо
(5.7), враховуючи, що
.
У такому випадку рівняння (5.7) набуває вигляду|виді|
,
(5.8)
або у прямокутній системі координат
,
де
– коефіцієнт теплопровідності.
Далі,
якщо
не залежить від
,
а
,
то рівняння (5.8) запишемо у вигляді|вид|
(5.9)
Якщо у
тілі є|наявний|
стоки або джерела тепла, але|та|
температура не залежить від часу, тобто
,
то рівняння (5.9) можна записати у вигляді
(5.10)
Це рівняння називається рівнянням Пуассона.
Нарешті,|урешті| якщо і джерела відсутні, то одержуємо|отримуємо| рівняння Лапласа
.
(5.11)
Одержані|отримані| лінійні та нелінійні рівняння описують температурне поле області залежно від часу та просторових змінних.
Основною
задачею|задачею|
теорії теплопровідності є
знаходження|з'являється,являється|
розв’язків
рівнянь
(5.8)-(5.11), що задовольняє певним початковим
й крайовим|крайовій|
умовам. Ці розв’язки описують температурні
поля в області, розігрівається або
охолоджується.