4.1. Логические выражения и логические операции

Логика – наука о законах и формах мышления. К основным понятиям логики относятся нижеперечисленные.

Высказывание (суждение) – некоторое предложение, которое может быть истинно (верно) или ложно. Например, высказывание «сегодня хорошая погода» является истинным, если светит солнце, нет ветра и дождя и т.д. В противном случае это же высказывание будет ложным.

Утверждение – суждение, которое требуется доказать или опровергнуть, например, сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

Рассуждение – цепочка высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом, например, если хотите начать работать на компьютере, то необходимо сначала включить электропитание.

Умозаключение – логическая операция, в результате которой из одного или нескольких данных суждений получается (выводится) новое суждение.

Область знаний, которая изучает истинность или ложность высказываний (суждений), называется математической логикой. Утверждения в математической логике называются логическими выражениями.

Для обработки логических выражений в математической логике была создана алгебра высказываний, или алгебра логики. Основы такой алгебры были заложены в трудах английского математика Джорджа Буля (XIX в.), булева алгебра.

Решение любой задачи на компьютере сводится к выполнению процессором ряда арифметических и логических операций. Они выполняются над логическими выражениями на основе законов и правил булевой алгебры.

Логическая операция конъюнкция

Конъюнкцией называется логическая операция, ставящая в соответствие двум простым логическим выражениям новое сложное логическое выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных (простых) логических выражения.

Конъюнкция определяет соединение двух логических выражений (высказываний) с помощью союза И. Эта операция называется также логическим умножением и обозначается символами & или ^.

Рассмотрим таблицу истинности.

A	B	A&B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Логическая операция дизъюнкция

Дизъюнкция определяет логическое соединение двух логических выражений (высказываний) с помощью союза ИЛИ.

Эта операция называется также еще логическим сложением и обозначается значком v. Рассмотрим таблицу истинности.

A	B	AB
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

В соответствии с таблицей истинности можно дать определение.

Дизъюнкцией называется логическая операция, ставящая в соответствие двум простым логическим выражениям новое сложное логическое выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных (простых) логических выражений.

Логическая операция отрицание (инверсия)

Определяется над одним аргументом (простым или сложным логическим выражением) следующим образом: если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то его отрицание будет истинным.

Данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО.

Операция отрицание обозначается символом ┐(¬), а ее результат определяется следующей таблицей истинности:

A	┐A
0	1
1	0

Логическая операция импликация (логическое следование)

Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе – следствием из этого условия. В разговорном языке эта операция выражается словами если..., то... .

Для ее обозначения в алгебре логики используется значок следования =>. Результат операции импликации для условия А (первое логическое выражение) и условия В (второе логическое выражение) определяется в соответствии со следующей таблицей истинности:

A	B	A B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

По определению результатом импликации является ЛОЖЬ тогда и только тогда, когда условие (А) истинно, а следствие (В) ложно.

Логическая операция эквивалентность (равнозначность)

Данная операция определяет результат сравнения двух простых логических выражений А и В, обозначается символом <=>. Результат этой операции – новое логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба исходных выражения одновременно истинны или ложны.

Таблица истинности:

A	B	A B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Сложным логическим выражением называется логическое выражение, составленное из одного или нескольких простых (или сложных) логических выражений, связанных с помощью рассмотренных логических операций [26].

Пусть, например, А, В и С – три простых логических выражения. Одним из примеров составленного из них сложного логического выражения будет

D =  (BC).

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении:

1) инверсия – 1;

2) конъюнкция – & (или л);

3) дизъюнкция – ;

4) импликация – =>;

5) эквивалентность – <=>.

Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются круглые скобки.

Построим таблицу истинности для заданного сложного логического выражения:

A	B	C		BC	(BC)
0	0	0	1	0	0
0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	1	1
1	0	0	0	0	0
1	0	1	0	1	0
1	1	0	0	1	0
1	1	1	0	1	0