2.5 Кездейсоқ шамалардың өзара байланысы

Көптеген экономикалық көрсеткіштер бірнеше сандармен анықталады, яғни көпөлшемді кездейсоқ шамалар болып табылады. Экономикалық көрсеткіштердің бірқатар мәндері басқа көрсеткіштердің мәндерін анықтайды.

Сондықтан экономикалық талдаудың басты міндеттерінің бірі- экономикалық көрсеткіштерді анықтау және олардың арасындағы байланысты көрсету. (нақты кездейсоқ шамалар арасында).

Мысалы: кіріс пен тұтыну арасындағы; тауар сұранымы және тауар бағасы арасындағы; инфляция деңгейі және жұмыссыздық деңгейі арасындағы; жалпы ұлттық өнім және тіршілік деңгейі арасындағы байланыстар.

Дербес жағдайда екі кездейсоқ шама арасындағы тәуелділікті орнату үшін екіөлшемді ықтималдықтар қарастырылады. және кездейсоқ шамалары дискретті үлестіру кестесімен берілсе

Мұнда – бір уақытта кездейсоқ шама , ал кездейсоқ шама мәндерін қабылдау ықтималдығы, яғни қос мәнінің пайда болу ықтималдығы

тің кез келген мәнінде мән қабылдау ықтималдығы жатық жолының ықтималдықтарының қосындысына тең

тің кез-келген мәнінде мән қабылдау ықтималдығы тік жолының ықтималдықтарының қосындысына тең

және кездейсоқ шамаларының сәйкесінше математикалық үміттері:

Сол сияқты және кездейсоқ шамаларының дисперсиялары:

Үздіксіз екіөлшемді кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы және ықтималдықтар тығыздығы:

Біріккен үлестіру функциясы

Біріккен ықтималдық тығыздығы

Тәуелсіз кездейсоқ шамалар

Егер және кездейсоқ шамалары үшін

теңдігі орындалса, онда мұндай кездейсоқ шамаларды тәуелсіз деп атайды. Тәуелсіз және кездейсоқ шамалары үшін келесі қатынастардың кез келгені орындалады.

Ковариация және корреляция коэффициенті. Кездейсоқ шамалардың өзара байланысын талдауда ковариация және корреляция коэффициенті қолданылады. ретті орталық момент деп

шамасын атайды. және кездейсоқ шамаларының байланысын анықтау үшін және кездейсоқ шамаларының ковариациясы деп аталатын орталық моментін қолданамыз.

Ковариация және кездейсоқ шамаларының байланысының абсолюттік өлшемі болады. Дискретті кездейсоқ щама үшін

Үздіксіз кездейсоқ шама үшін

Ковариацияның қасиеттері:

1)

2)

3) егер және тәуелсіз кездейсоқ шамалар болса, онда

4)

5)

және кездейсоқ шамаларының корреляция коэффициенті деп келесі формуламен анықталатын шаманы атайды

Егер болса, онда және кездейсоқ шамаларының арасында корреляциялық байланыс жоқ, ал егер болса, корреляциялық байланыс бар.

Корреляция коэффициентінің қасиеттері:

1)

2)

3)

4) егер және кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса, онда

5) егер болса, (яғни және кездейсоқ шамаларының арасында сызықтық тәуелділік бар). Егер және кездейсоқ шамалары тәуелді болса, онда

Мысал 2 Көп жылдар бойы екі компанияға салынған инвестиция нәтижелерін бақылау бойынша және - жылдық дивидендтер өлшемдерінің үлестіру заңы құрылған. Әр кездейсоқ шаманың маргиналды үлестіру заңын жазып, олардың арасындағы байланысты анықтаңыздар. Ковариация және корреляция коэффициенттерін есептеңіз, екі компанияның біреуіне немесе екеуіне де бірдей мөлшерде инвестиция салу тәуекелін есептеп, тиімді жағдайды анықтаңыз.

Y X	-10	5	10
-10	0.05	0.25	0.3	0.6
20 20	0.15	0.20	0.05	0.4
	0.2	0.45	0.35

және кездейсоқ шамаларының үлестіру заңдары

Y	-10	5	10
	0.20	0.45	0.35

X	-10	20
	0.6	0.4

,

ендеше және кездейсоқ шамалары тәуелді.

және кездейсоқ шамалары арасындағы байланыс ковариациямен анықталады.

.

және кездейсоқ шамаларының арасында теріс тығыз емес сызықтық байланыс бар деп айтуға болады. Инвестиция тәуекелін дивидендтер мәнінің шашылуына байланысты кездейсоқ шамалардың дисперсиялары бойынша есептеуге болады.

олай болса бірінші компанияға инвестиция салу екінші компанияға қарағанда тиімді емес. деп, екі компанияға бірден бірдей мөлшерде инвестиция салуда дивидендтер өлшемін белгілейік. Ендеше .

осыдан қарастырылған үш жағдайдан екі компанияға бірден бірдей мөлшерде инвестиция салған тиімді екенін көреміз.