Культурный минимум.
Что такое линейный оператор? Примеры.
Что такое ограниченный линейный оператор? Понятие нормы.
Какой оператор называется непрерывным в точке,на D(A)? Все определения.
Принцип открытости отображений Банаха. Идея доказательства.
Что такое равномерная и поточечная (сильная) сходимость последовательности НЛО к оператору ?
Какой оператор называется сжимающим? Что такое неподвижная точка оператора?
Какой оператор называется обратимым, непрерывно обратимым? Что такое ядро и образ оператора? Какой оператор называется вырожденным?
Какая задача называется корректной по Адамару?
Какой оператор называется замкнутым? Теорема о пришельцах.
Что такое график линейного оператора?
Какой оператор называется компактным?
Какой оператор называют сопряженным к оператору ? Какие операторы называют самосопряжёнными и нормальными?
Вопросы.
Доказать, что
Доказать, что оператор дифференцирования не ограничен в пространствах
и
ограничен в пространствах
.Доказать критерий непрерывности линейного оператора, как непрерывного в нуле.
Доказать критерий непрерывности линейного оператора, как ограниченного.
Доказать, что замыкание образа окрестности нуля в пространстве содержит в себе некоторую окрестность нуля в пространстве .
Доказать, что образ окрестности нуля в пространстве содержит в себе некоторую окрестность нуля в пространстве .
Доказать принцип открытости отображений Банаха.
Доказать, что пространство есть нормированное пространство с нормой .
Доказать, что пространство банахово в смысле равномерной сходимости.
Доказать, что пространство банахово в смысле поточечной сходимости.
Доказать принцип равномерной ограниченности Банаха Штейнгауза.
Доказать принцип сжимающих отображений Банаха.
Доказать теорему о линейности обратного оператора.
Критерий обратимости линейного оператора, как невырожденного. Контрпример.
Критерий существования и непрерывности обратного оператора.
Доказать теорему Банаха о гомеоморфизме.
Доказать теорему Банаха о замкнутом графике.
Доказать критерий замкнутости линейного оператора.
Доказать, что компактный оператор всегда ограничен.
Теорема о коразмерности ядра ненулевого непрерывного функционала
.Теорема о связи непрерывности функционала и замкнутости его ядра.
Теорема Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала.
Доказать принцип продолжения Хана Банаха.
Задачи.
Линейный функционал в
в точках (1,2) и (3,4) равен 5 и 6 соответственно.
Найти его значение в точке (7,8) и норму.Найти норму преобразования .
Найти норму преобразования .
Найти норму преобразования .
Показать, что оператор Фредгольма непрерывен в пространстве
Показать, что оператор Фредгольма непрерывен в пространстве .
Является ли сжимающим отображение на отрезке ?
Является ли отображение сжимающим в ?
При каких оператор Фредгольма является сжимающим при действии ;
При каких оператор Фредгольма является сжимающим при действии
При каких оператор Вольтерра является сжимающим при действии .
Показать, что оператор интегрирования на паре пространств замкнут.
При каких оператор Вольтерра является сжимающим при действии .
Показать замкнутость оператора дифференцирования при действии
.Существует ли оператор, обратный к оператору дифференцирования?
Показать, что единичный оператор
ограничен, но не компактен.Найти оператор, сопряженный к оператору Фредгольма.
Найти оператор, сопряженный к оператору .