4.3.2. Корректность компактных операторов

Определение. Линейный оператор , отображающий банахово пространство в себя (или другое банахово пространство), называется компактным (вполне непрерывным), если каждое ограниченное множество он переводит в предкомпактное.

Комментарий. Напомним, что множество метрического пространства компактно, если из любого бесконечного его подмножества можно выделить последовательность, сходящуюся к элементу из , и предкомпактно, если замыкание компактно. Если линейный оператор компактен, то он переводит любую ограниченную последовательность в компактную последовательность , то есть из любой подпоследовательности последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Компактность и предкомпактность это прежде всего свойства пространств. Суть компактности в исчерпываемости некого бесконечномерного пространства конечномерным приближением с любой наперед заданной точностью. Компактный оператор наследует свойства конечномерного оператора в том смысле, что всегда может быть приближен им.

Теорема1. Компактный оператор всегда ограничен.

. Пусть компактный оператор не ограничен. Тогда найдется последовательность , такая, что |. Но тогда из неё нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, что противоречит тому, что вполне непрерывный оператор.

Комментарий. Не любой непрерывный линейный оператор вполне непрерывен. Рассмотрим, например, единичный оператор . Он, очевидно, ограничен, но не компактен. Покажем это.

В пространстве существует бесконечная ортонормированная система (ОНС) , такая, что . Ясно, что последовательность лежит на сфере , то есть она ограничена, но из неё нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, так как . То есть единичная сфера в гильбертовом пространстве– замкнутое и ограниченное множество, но не компакт, а . Таким образом, единичный оператор не компактен.

Можно показать, что единичный оператор в любом бесконечномерном банаховом пространстве не компактен. Это следует из теоремы Рисса о некомпактности единичного шара в бесконечномерном - пространстве.

Теорема 2. Если – компактный оператор, – ограниченный в банаховом пространстве , то операторы и – компактны.

Если множество ограничено, то множество тоже ограничено. Следовательно, множество предкомпактно, а это и означает, что оператор компактен. Далее, если ограничено, то предкомпактно, а тогда в силу непрерывности множество тоже предкомпактно, то есть оператор компактен.

4.4. Пространства функционалов

Определение 1. Линейным функционалом в гильбертовом пространстве H называется линейный оператор, отображающий H во множество чисел (вещественных или комплексных). Поскольку линейный функционал является оператором, то для него определено понятие непрерывности, нормы и справедливы все свойства операторов.

Определение 2. Ядром линейного функционала f, определенного в H, называется совокупность всех векторов ,для которых f(x)=0. Ядро функционала f обозначается через .

Теорема 1. Если f -- линейный функционал в H, то является подпространством в H.

Покажем, что любая линейная комбинация произвольных двух векторов лежит в .Но если ,то , а значит, для любых чисел имеем .Следовательно, .

Теорема 2. Ядро непрерывного линейного функционала замкнуто.

Пусть произвольная последовательность векторов из , . Поскольку линейный функционал f непрерывен, то , а значит .Следовательно, ядро f замкнуто.

Определение 3. Коразмерностью подпространства S называется размерность его ортогонального дополнения .

Теорема 3. Коразмерность ядра ненулевого непрерывного функционала f равна единице.

Гильбертово пространство H может быть представлено в виде прямой суммы замкнутого подпространства S и его ортогонального дополнения : . Это означает, что для любого вектора найдутся, и притом единственным образом, векторы и такие, что . Поскольку функционал f непрерывен, то его ядро замкнуто и, следовательно, все пространство H представляется в виде прямой суммы ядра и его ортогонального дополнения : . Последнее означает, что каждый вектор может быть единственным образом представлен в виде , где , а . С другой стороны, функционал f не равен нулю, а значит . Следовательно, ортогональное дополнение к ядру содержит не только нулевой вектор. Пусть и . Рассмотрим произвольный вектор и положим и . Тогда, с одной стороны, , так как вектор является линейной комбинацией векторов и . Но с другой так как .Следовательно, . Поэтому и . Таким образом, любой вектор из пропорционален вектору . Это и означает, что коразмерность ядра равна единице.

Теорема 4. Если ядро функционала замкнуто, то он непрерывен.

Если ядро функционала совпадает со всем пространством, то функционал равен нулю и, очевидно, непрерывен. Если ядро функционала f является замкнутым подпространством, не совпадающим со всем пространством H, то ортогональное дополнение к ядру содержит хоть один ненулевой вектор . Произвольным образом выберем последовательность . Поскольку , а значит для каждого номера n найдутся векторы и такие, что . Далее, каждый из векторов представим в виде . Поскольку, с одной стороны, , а с другой . Сумма двух неотрицательных слагаемых в пределе равна нулю, а вектор ненулевой, то есть так как , то , и . Следовательно, при . Значит, линейный функционал f непрерывен в нуле и поэтому непрерывен всюду.

Определение 4. Множество непрерывных линейных функционалов, определенных в гильбертовом пространстве H, называется пространством, сопряженным к H, и обозначается через H^*. Очевидно, что H^* линейное пространство.

Теорема 5 (Ф. Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала). Пусть H гильбертово пространство. Тогда для всякого непрерывного линейного функционала f на H существует единственный вектор такой, что , причем .

Пусть вектор существует. Скалярное произведение линейно по первому аргументу, поэтому при любом формула определяет линейный функционал на H. Из неравенства Буняковского Коши следует, что , то есть норма f не превосходит , а значит, функционал f непрерывен. Однако, и, следовательно, . Покажем теперь, что вектор существует и единственен. Существование. Поскольку функционал f непрерывен, то его ядро замкнуто и все пространство H представляется в виде: . Стало быть существует и единственно представление , где , а . Если , то , и, положив сразу получим . Если ,то и ортогональное дополнение к ядру имеет размерность 1. Пусть вектор такой, что для любого вектора найдется число такое, что , а значит, для любого вектора найдутся вектор и число такие, что . Стало быть, имеем . Тогда, учитывая, что , а , получим Обозначив , сразу получим . Единственность вектора . Допустим, что нашлось два вектора Тогда для всех имеем . Полагая в последнем равенстве , получим , а значит .

Комментарий. Из теоремы Рисса следует, что правило, которое сопоставляет вектору непрерывный линейный функционал f по формуле определяет линейный изоморфизм векторных пространств H и H^*. Следовательно, H и H^* ”с точностью до обозначений” являются одним и тем же пространством.