Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4 ПРОСТ-ВА ОПЕРАТ .docx

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2025

Размер:

2.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

4.2. Непрерывность

Пусть X и Y – нормированные пространства и А: X → Y, где А – линейный оператор, всюду заданный в X (т.е. ).

Определение 1. Линейный оператор А, заданный всюду в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве Y называется непрерывным в точке , если . Эквивалентное определение непрерывности оператора в точке:

Определение 2. Линейный оператор А, заданный всюду в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве Y называется непрерывным в точке , если для любой последовательности x_n, n=1, 2, …, ,x_n→x₀, последовательность Ax_n сходится к Ax₀.

Определение 3. Оператор A называется непрерывным на D(A), если он непрерывен в каждой точке.

Теорема 1. Линейный оператор А, заданный всюду в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве Y непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в нуле.

Необходимость. Ясно, что если оператор А непрерывен в каждой точке, то он непрерывен в нуле.

Достаточность. Пусть оператор A непрерывен в нуле и . Тогда , а так как оператор A непрерывен в нуле и линеен, то .

Определение 4. Линейный оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в точке x = 0.

Теорема 2. Пусть А: X → Y, А – линейный оператор, X, Y – банаховы пространства. Для того чтобы линейный оператор А был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.

Необходимость. Пусть оператор А ограничен. Покажем, что он непрерывен. Достаточно доказать непрерывность А в нуле. Рассмотрим любую последовательность , то есть . Тогда , то есть , так как оператор А ограничен, а , то есть , то есть оператор А непрерывен в нуле.

Достаточность. . Допустим, что оператор А не ограничен. Это значит, что числу 1 найдется хотя бы один соответственный вектор x₁ такой, что ||A x₁|| > 1|| x₁||. Числу 2 найдется вектор x₂, что ||A x₂|| > 2|| x₂|| и т.д. Числу n найдется вектор x_n, что ||A x_n|| > n|| x_n||. Теперь рассмотрим последовательность векторов y_n = , где ||y_n|| = . Следовательно, последовательность y_n 0 при n . Так как оператор А непрерывен в нуле, то Аy_n 0, однако ||Аy_n || = ||A || = ||Ax_n|| > n|| x_n|| = 1, получаем противоречие с тем, что Аy_n 0, то есть А – ограничен.

Комментарий. Для линейных операторов понятия ограниченности и непрерывности оператора эквивалентны. Непрерывные линейные операторы будем обозначать аббревиатурой НЛО. Из примера 2 предыдущего пункта следует, что линейный оператор дифференцирования не является непрерывным.

Пример 1. Рассмотрим оператор Фредгольма в пространстве , сопоставляющий функции новую функцию , определенную с помощью формулы , где - некоторая фиксированная непрерывная функция двух переменных. Оператор A называется интегральным, его линейность очевидна из линейности интеграла. Если ядро непрерывно по совокупности аргументов, то в соответствии с теоремой о непрерывной зависимости от параметра собственного интеграла, оператор A действует в линейном пространстве функций.

1. Покажем, что оператор Фредгольма ограничен, а, следовательно, непрерывен при действии . Полагаем ядро непрерывным в квадрате , то есть ограниченным, то есть , а норма .Тогда .

2. Покажем, что оператор Фредгольма ограничен и, следовательно, непрерывен в пространстве . По неравенству Коши-Буняковского для каждого фиксированного , полагая, что , можно записать Интегрируем по : . Правая часть неравенства не зависит от и ограничена, поэтому .

Наиболее общее определение непрерывности было дано на языке топологии и это позволяет доказать следующее утверждение:

Теорема 3. (Принцип открытости отображений Банаха): Пусть линейный непрерывный оператор, банаховы пространства. Тогда образ любого открытого множества в пространстве есть открытое множество в пространстве .

Лемма 1. Пусть линейный непрерывный оператор, банаховы пространства. Тогда для любой окрестности нуля в пространстве , замыкание образа этой окрестности содержит в себе некоторую окрестность нуля в пространстве , то есть .

Открытая окрестность нуля в пространстве содержит в себе некий открытый шар . Зададим и рассмотрим последовательность . Тогда для любого фиксированного . То есть любой вектор , где - наименьшее из целых чисел, больших . Оператор А сюръективен, то есть . По условию - Банахово пространство, которое по теореме Бэра о категориях есть множество II категории, то есть его нельзя представить в виде объединения счётного числа нигде не плотных множеств, то есть существует номер и открытое множество , такие, что найдётся шар , который будет плотным в открытом множестве . Другими словами, , но множество будет содержаться в замыкании шара , или шар будет содержать в себе некоторое открытое множество . Можно сказать, что замыкание шара имеет непустую открытую внутренность . Так как оператор А непрерывен, то соответствующее множество в пространстве , множество тоже будет открыто, как и множество . С другой стороны, множество и есть окрестность нуля в пространстве , то есть можно считать, что . Тогда сразу .

Лемма 2. Пусть - линейный непрерывный оператор, - банаховы пространства. Тогда для любой окрестности нуля в пространстве , образ этой окрестности содержит в себе некоторую окрестность нуля в пространстве , то есть .

. Открытая окрестность нуля в пространстве содержит в себе некий открытый шар . Возьмём произвольную последовательность и обозначим открытые шары радиусов , а - открытые шары радиусов . В силу Леммы 1 , причём последовательность монотонно убывает. Пусть . Так как , то найдётся точка . Так как , то найдётся точка . И так далее. Таким образом . Пусть . Оценим норму , то есть последовательность фундаментальна в пространстве . Так как пространство полное, то она сходится, то есть существует элемент , такой, что . Тогда, в силу соотношения имеем и . Таким образом, мы фактически показали, что образ любой окрестности нуля в пространстве , содержит в себе некоторую окрестность нуля в пространстве , то есть .

Теперь легко доказать принцип открытости отображений Банаха.

Нулевой элемент пространства - такой же элемент пространства , как и все остальные. То есть если - произвольное открытое множество в пространстве , то . Обозначим через такую окрестность нуля, что её сдвиг на , то есть окажется внутри : . Так как , то . В силу произвольности теорема доказана. .

Комментарий. У непрерывного оператора можно посчитать конечное значение норм входного и выходного элементов, максимальное значение этого отношения на всем множестве определения дает согласованную норму самого этого оператора. Грубо говоря, это максимальный "коэффициент усиления" преобразования. Поскольку норма это число, то множество операторов должно быть замкнуто относительно обычных алгебраических операций. Но будет ли оно пространством, то есть можно ли на этом множестве определить операцию предельного перехода и если да, то будет ли это пространство полным? ( Под пространством в функциональном анализе понимают не просто множество с заданным, кроме отношения равенства, каким либо отношением. Это отношение должно допускать операцию предельного перехода.)

Обозначим множество всех непрерывных линейных операторов, действующих из пространства в пространство , через . Очевидно, линейное пространство.

Теорема 4. Пространство есть нормированное пространство с нормой .

. Достаточно проверить для аксиомы нормы.

Определение 5. Последовательность линейных непрерывных операторов сходится равномерно к оператору , если из шара верно, что .

Это обозначают как .

Теорема 5. Если X есть нормированное пространство, a Y банахово, то пространство банахово в смысле равномерной сходимости.

. Надо показать, что существует непрерывный линейный оператор , который является пределом равномерно сходящейся последовательности операторов .

1. Покажем существование непрерывного оператора . Рассмотрим произвольную фундаментальную последовательность . Для любого элемента последовательность фундаментальна, так как и . Пространство Y банахово, то есть найдётся . Таким образом, каждому элементу мы поставили в соответствие единственный элемент , . Оператор линеен, так как линейны операторы .

2. Покажем, что оператор _, являющийся пределом для последовательности операторов , непрерывен. В самом деле, так как последовательность фундаментальна в , то последовательность норм ограничена, то есть . С другой стороны, . Таким образом, , и, следовательно, оператор является непрерывным. В силу фундаментальности последовательности операторов ,

. Перейдем в данном неравенстве к пределу при . Тогда при условии выполнится . Это значит, что при всех , то есть .

Комментарий. В пространство линейных непрерывных операторов можно ввести и другие типы сходимости. Рассмотрим последовательность операторов ортогонального проецирования в гильбертовом пространстве. Пусть есть некоторый ортонормированный базис в гильбертовом пространстве : , и так далее. Тогда произвольный элемент представим в виде ряда Фурье где . Определим оператор проецирования на подпространство , натянутое на первые п элементов базиса, как . Тогда , а . То есть , . Тогда , как остаток сходящегося ряда, где тождественный оператор. То есть , но это какая-то другая сходимость, потому что равномерной сходимости нет. В самом деле, как только , то для любого . Пусть . Тогда , так как не сохраняет , а сохраняет. Это рассуждение подводит нас к следующему определению.

Определение 6. Последовательность операторов называется поточечно (сильно) сходящейся к оператору , если .

Комментарий. Поточечная сходимость означает сходимость в каждой точке пространства. Мы показали, что поточечная (сильная) сходимость последовательности операторов не влечет за собой, вообще говоря, равномерной сходимости этих же операторов. Обратное всегда верно: равномерная сходимость последовательности операторов всегда влечет за собой поточечную. Действительно, .

Будет ли пространство банаховым и в смысле поточечной сходимости? Покажем, что будет.

Теорема 6 (Принцип равномерной ограниченности Банаха Штейнгауза). Пусть банаховы пространства, а последовательность есть последовательность непрерывных линейных операторов, множество значений которых ограничено в любой точке , то есть , где константы, быть может, различающиеся от точки к точке. Тогда числовая последовательность норм этих непрерывных линейных операторов тоже ограничена, то есть верно, что , где константа есть общая константа, то есть речь идёт о равномерной ограниченности.

Покажем сначала, что если , то в замкнутом шаре последовательность ограничена , то есть сразу .

. Пусть последовательность не ограничена ни в каком замкнутом шаре. Тогда она не ограничена и в шаре , равно как и в шаре . Это значит, что существует элемент , на котором, начиная с номера , норма . Но оператор непрерывен, то есть это соотношение выполняется и в некотором замкнутом шаре . Тогда для этого шара последовательность не ограничена и в шаре . То есть существует элемент , на котором, начиная с номера , норма . Снова это неравенство выполняется и в некотором замкнутом шаре . Ясно, что существует точка , которая принадлежит всем шарам при условии, что и в которой . Но это противоречит условию . То есть в замкнутом шаре последовательность ограничена , то есть сразу . Но тогда норма .

Теорема 7. Пусть X и Y банаховы пространства. Тогда пространство банахово в смысле поточечной сходимости.

Рассмотрим фундаментальную последовательность . Если последовательность фундаментальна в каждой точке , а пространство банахово, то она сходится в этой точке, то есть существует , то есть она ограничена, и ограничен, а следовательно, линеен оператор , то есть . Это как раз и означает, что любая поточечно сходящаяся фундаментальная последовательность непрерывных линейных операторов сходится к непрерывному линейному оператору, то есть пространство банахово в смысле поточечной сходимости.

Комментарий. В дальнейшем будем рассматривать банаховы пространств Комментарий. В дальнейшем будем рассматривать банаховы пространс

Определение 7. Пусть – оператор, вообще говоря, нелинейный, , где – полное метрическое пространство. Оператор называется сжимающим если существует константа q: , такая, что для любых имеет место неравенство .

Комментарий. Всякое сжимающее отображение непрерывно.

Пусть тогда как только , имеем: . Таким образом, оператор непрерывен.

Определение 8. Элемент называется неподвижной точкой оператора , если .

Теорема 7 (Принцип сжимающих отображений Банаха). Сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет единственную неподвижную точку .

. Пусть точка . Составим последовательность

и покажем, что она фундаментальна. , , Тогда и так далее. Последовательно применяя неравенство треугольника, получим

. (5)

Так как , то , то есть последовательность фундаментальна. А поскольку метрическое пространство полное, то . Покажем, что . Так как выполнено .

Отображение непрерывно, то есть, переходя к пределу, получим , то есть .

! . Пусть две неподвижные точки. Тогда но .

Комментарий. Неверно считать, что для применения принципа сжатых отображений достаточно, чтобы .Рассмотрим, например, функцию . Если функция , , имеет ограниченную производную, , то отображение будет сжимающим. В самом деле, по теореме Лагранжа, и получим , . ( Условие называется условием Липшица.) В нашем случае

. Однако, , что и означает отсутствие неподвижной точки у этой функции. Функция не удовлетворяет теореме о неподвижной точке.

Пример. 1. Рассмотрим преобразование . Норма называется эвклидовой. Если она меньше единицы, то отображение сжимающее.

2. Рассмотрим преобразование . Норма называется столбиковой. Если она меньше единицы, то отображение сжимающее.

3. Рассмотрим преобразование . Норма называется строчной. Если она меньше единицы, то отображение сжимающее.

Примеры. Решить уравнение . Для этого определяем границы корней, то есть участки, на которых функция меняет знак. Пусть при функция меняет знак. Далее, рассмотрим функцию . Ясно, что если , то , то есть . Выбираем параметр так, чтобы , то есть .