4. Отношение эквивалентности

4.1. Эквивалентность. Классы эквивалентности

Отношение эквивалентности удовлетворяет условиям рефлексивности, симметрич-ности, транзитивности и обычно обозначается знаком . При этом ху означает, что упорядоченная пара (х, у) принадлежит множеству , являющимся отношением эквивалентности в множестве М.

Свойства эквивалентности записываются следующим образом:

1. хх (рефлексивность);

2. ху  ух (симметричность);

3. ху  уz  хz (транзитивность).

Классом эквивалентности [х] элемента х называется множество всех эквивалентных ему элементов ([x]={y: yx}).

Теорема. Классы эквивалентности различных элементов не пересекаются.

Доказательство. Рассмотрим два произвольных не эквивалентных друг другу элемента х и у. Предположим, что их классы эквивалентности пересекаются.

[x][y]  z: z[x][y]  z[x]  z[y]  хz  уz  ху – противоречие.

Следовательно, различные классы эквивалентности не пересекаются.

Таким образом, отношение эквивалентности разбивает множество М на непересекающиеся классы эквивалентности. Наоборот, всякое разбиение множества М на непересекающиеся подмножества определяет между элементами этого множества некоторое отношение эквивалентности.

4.2. Система представителей.

Все элементы, принадлежащие некоторому классу М_i разбиения множества М, свя­заны отношением эквивалентности. Они взаимозаменяемые в том смысле, что любой из этих элементов определяет данный класс, т. е. может служить его представителем (эталоном). Подмножество из М, содержащее по одному и только по одному элементу из каждого класса некоторого разбиения, называют системой представителей соответствующего отношения эквивалентности. Множество всех классов разбиения множества М, определяемого отношением эквивалентности А, образует фактор-множество М/А.

Например, отношение параллельности определяет разбиение множества прямых на плоскости на классы, каждый из которых образован множеством параллельных между собой прямых и харак­теризуется некоторым направлением (следует также считать, что прямая параллельна самой себе). Любая из параллельных прямых может служить представителем данного класса, а само направле­ние есть класс эквивалентности. Множество всех направлений составляет фактор-множество множества всех прямых по отноше­нию параллельности.

4.3. Классы вычетов по модулю т.

Рассмотрим отношение срав­нения но модулю т на множестве натуральных чисел, что записы­вается как х=у (mod т) и означает: х сравнимо с у по модулю т (т - целое положительное число, не равное нулю), если х-у делится на т. Целые числа, сравнимые по модулю т, связаны соотношением х = у + km (k - целое число) и образуют под­множество целых чисел, имеющих одинаковый остаток при деле­нии на т. Так как эти подмножества не пересекаются, они являются классами эквивалентности, а в качестве представителя каждого из них естественно выбрать остаток j = 0, 1, 2, ..., т-1. Таким образом, отношение сравнения по модулю т определяет разбиение множества натуральных чисел на т классов , где — счетное множество, называемое классом вычетов по модулю т.

пример. при т=4 имеем М₀={0, 4, 8, 12, ...}; М₁={1, 5, 9, 13, ...}, M₂={2, 6, 10, 14, ...}, М₃={3, 7, 11, 15, ...}. Представителями классов эквивалентности являются числа 0, 1, 2 и 3, так как 0 = 4(mod4) = 8(mod4) = ...; 1 = 5(mod4) = 9(mod4) = ...; 2 = 6(mod 4) = 10(mod 4) = ...и 3=7(mod4) = 11(mod 4) = .... Таким образом, множество целых чисел раз­бивается отношением сравнения по модулю 4 на четыре класса эквивалентности. Внутри каждого класса эти числа неразличимы (4 ~ 0, 5  1, 6  2, 7  3 и т. д.).

При т = 1 разбиение состоит из единственного класса, который совпадает с исходным множеством, т. е. имеем полное отношение эквивалентности, при котором любые два элемента эквивалентны (все целые числа делятся на единицу). Отношение х = у(mod 2) разбивает множество целых чисел на классы четных и нечетных чисел.