2. Отношения

1. Бинарные отношения

Многие задачи математики, техники и других областей человеческой деятельности получают удобную интерпретацию на языке теории отношений. Все арифметические операции — это по существу некоторые отношения между числовыми множествами.

Говорят, что задано бинарное отношение от множества X к множеству Y, если указан закон, ставящий в соответствие элементам множества X элементы множества Y.

Каждое бинарное отношение можно рассматривать как множество упорядоченных пар, у которых первый элемент принадлежит X, а второй принадлежит Y и соответствует данному x.

Если А – бинарное отношение, то соотношение хRу можно записать также в виде (х, у) R, где R  Х  Y.

R=

Элемент х называют первой координатой, а элемент у - второй координатой упорядоченной пары.

Пример. Рассмотрим

Пусть отношение R задается свойством “х делится на у ”, т.е. тогда и только тогда, когда y является делителем x.

Частным случаем бинарных отношений является случай, когда множество X совпадает с множеством Y ( ). В этом случае говорят, что задано бинарное отношение в множестве X. ( )

2. Способы задания бинарных отношений

Бинарное отношение можно задать различными способами:

1. Перечислить все пары, связанные между собой отношением.

2. Указать общие свойства, характеризующие данное отношение. Это наиболее общий способ, позволяющий задать практически любые отношения.

3. Графический способ, или задание отношения с помощью графа. В этом случае элементы множеств X и Y обозначаются точками, а элементы, связанные отношениями, соединяются направленными стрелками (рис. 2.1а). В случае рисуется одно множество (рис. 2.1б).

а)	б)
Рис.2.1. Граф бинарного отношения

4. Матричный способ. При этом отношение описывается матрицей, количество столбцов которой соответствует количеству элементов множества X, а строк – Y. Элемент матрицы, находящийся на пересечении j столбца и i строки равен 1, если соответствующие элементы множеств X и Y связаны бинарным отношением, и 0 - в противном случае.

Если отношение R задано в множестве X, то матрица будет квадратной.

Если в матрице отношения возникает нулевой столбец, то это значит, что соответствующий элемент не связан ни с одним другим элементом этим отношением. То же самое можно сказать про нулевую строку.

3. Области определения и значений

Область определения отношения R – это подмножество всех элементов х множества Х , для которых найдется элемент y, связанный с данным элементом отношением R.

.

Область значения отношения R – подмножество всех элементов y множества У, для которых найдутся элементы x, связанные с y отношением R ( ).

Пример:

Если область определения отношения совпадает с некоторым множеством X, то говорят, что отношение определено на X.

Заслуживают внимания три частных случая отношений в Х:

1) полное (универсальное) отношение Р = Х  X, которое имеет место для каждой пары элементов из Х (например, отношение «учиться в одной группе» на множестве студентов данной группы);

2) тождественное (диагональное) отношение Е, равносильное х=х (например, равенство на множестве действительных чисел);

3) пустое отношение, которому не удовлетворяет ни одна пара элементов из Х (например, отношение «быть братом» на мно­жестве женщин).

Полному отношению соответствует матрица, все клетки кото­рой заполнены единицами, тождественному - единичная матрица, пустому - нулевая матрица. Графы полного, тождественного и пустого отношений изобра­жены на рис. 2.2 (для пустого отношения граф состоит из изолиро­ванных вершин).

а)	б)	в)
Рис.2.2. Графы полного (а), тождественного (б) и пустого (в) отношений.