10.3. Нормальные формы

Дизъюнктивная (конъюнктивная) нормальная форма - это дизъюнкция (конъюнкция) конечного числа различных членов, каждый из которых представляет собой конъюнкцию (дизъюнкцию) отдельных переменных или их отри­цаний, входящих в данный член не более одного раза.

Функция приводится к нормальной форме следующим путем: 1) с помощью законов де Моргана формула преобразуется к такому виду, чтобы знаки отрицания относились только к отдельным переменным; 2) на основе первого (второго) дистрибутивного закона формула сводится к дизъюнкции конъюнкций (конъюнкции дизъюнкций); 3) полученное выражение упрощается и соответствии с тождествами и ( и ).

Пример:

- дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ).

- конъюнктивная нормальная форма (КНФ).

Члены дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной формы, представляющие собой элементарные конъюнкции (дизъюнкции) k букв, называют минитермами (макстермами) k-го ранга. Так, в приведенных выше формах ху - минитерм второго ранга, хуг - минитерм третьего ранга, а - макстерм второго ранга.

Если исходная формула содержит другие операции, то они предварительно выражаются через дизъюнкцию, конъюнкцию и отри­цание, например:

Пример:

10.4. Совершенные нормальные формы

Если в каждом члене нор­мальной формы представлены все переменные (либо в прямом, либо в инверсном виде), то она называется совершенной нормальной формой.

Можно показать, что любая булева функция, не являющаяся тождественным нулем (единицей), имеет одну и только одну совер­шенную дизъюнктивную (конъюнктивную) нормальную форму. Если какой-либо член  дизъюнктивной (конъюнктивной) нормаль­ной формы не содержит переменной х, то она вводится тождест­венным преобразованием  = ( ) = х   (соответ­ственно  =   =(  х)(   )). В силу тождеств    =  и  =  одинаковые члены, если они появляются, заменяются одним таким членом.

Продолжая второй пример, приведем данную функцию к совершенной дизъюнктивной нормальной форме:

Приведение к совершенной конъюнктивной нормальной форме иллюстрируется следующим при­мером:

10.5. Проблема разрешимости

Формула (или соответствующая ей функция) называется выполнимой, если она не является тождест­венным нулем или единицей. Решение с помощью конечного числа действий вопроса, является ли данная формула выполнимой, т. е. не равна ли она тождественно нулю или единице, носит назва­ние проблемы разрешимости.

Ответ на этот вопрос можно получить, построив для данной формулы таблицу соответствия, что сводится по существу к опре­делению значений формулы при всевозможных наборах значении входящих в нее переменных. Если на всех наборах формула прини­мает значения только 0 или только 1, то она невыполнима.

При большом количестве переменных такой способ практически неосуществим из-за огромного числа возможных наборов значений переменных. Более удобный путь - приведение формулы к нор­мальной форме. Если в процессе такого приведения формула не обращается в тождественный 0 или 1, то это свидетельствует о ее выполнимости.