9.3. Булевы функции

Наиболее простым и в то же время важнейшим классом однородных функций являются двузначные (булевы) функции.

Областью определения булевых функций от п переменных слу­жит множество слов длины п. Они представляют собой всевозмож­ные наборы из п двоичных цифр и их общее количество равно .

Число всевозможных булевых функций п переменных быстро возрастает с увеличением п (при п = 3 оно равно 256, а при п = 5 превышает 4 миллиарда). Но функции одной и двух перемен­ных еще можно перечислить и подробно исследовать, так как их количество сравнительно невелико (v = 4 при п = 1 и v = 16 при п = 2).

Общая таблица соответ­ствия для булевых функций одной переменной имеет следующий вид (справа указаны обозначения функций):

Две функции = 0 и = 1 представляют собой функции-константы (тождественный ноль и тождественная единица), так как они не изменяют своих значений при изменении аргумента. Функ­ция = х повторяет значения переменной х и потому просто сов­падает с ней.

Единственной нетривиальной функцией является , назы­ваемая отрицанием или инверсией. Она равна 1, когда аргумент принимает значение 0, и равна 0 при аргументе 1.

Все 16 функций двух переменных приведены в табл. 9.1, где указаны условные обозначе­ния, названия и значения функции (в скобках даны встречающиеся в литературе варианты).

Таблица 9.1 - Булевы функции двух переменных

	0	0	1	1	Обозначение	Название
	0	1	0	1
	0	0	0	0	0	Константа 0 (тождественный 0)
	0	0	0	1		Конъюнкция (логическое «и», произведение)
	0	0	1	0		Отрицание импликации
	0	0	1	1		Повторение первого аргумента
	0	1	0	0		Отрицание обратной импликации
	0	1	0	1		Повторение второго аргумента
	0	1	1	0		Сумма по модулю два (антиэквивалентность, неравнозначность)
	0	1	1	1		Дизъюнкция (логическое «или», логическая сумма)
	1	0	0	0		Стрелка Пирса (отрицание дизъюнкции, логическое «не-или»)
	1	0	0	1		Эквиваленция (равнозначность)
	1	0	1	0		Отрицание (инверсия) второго аргумента
	1	0	1	1		Обратная импликация
	1	1	0	0		Отрицание (инверсия) первого аргумента
	1	1	0	1		Импликация (следование)
	1	1	1	0		Штрих Шеффера (отрицание конъюнкции, логическое «не-и»)
	1	1	1	1	1	Константа 1 (тождественная 1)

Шесть из приведенных функций не зависят от x₁ или x₂ (или от обоих вместе). Это две константы ( = 0 и = 1), повторения ( и ) и отрицания ( и ), являющиеся функциями одной переменной (x₁ или x₂). Из остальных десяти функ­ций две ( и ) отличаются от соответствующих им ( и ) лишь порядком расположения аргументов и поэтому не являются само­стоятельными. Поэтому из 16 булевых функций двух переменных только восемь являются оригинальными ( ).

Рассмотрение булевых функций одной, двух и большего числа переменных показывает, что всякая функция от меньшего числа переменных содержится среди функций большего числа перемен­ных. Функции, которые сводятся к зависимости от меньшего числа переменных, называют вырожденными, а функции, существенно зависящие от всех переменных, являются невырожденными.

Заменяя входящие в функции переменные другими функциями, можно получить логические функции любого числа переменных. Две логические функции считаются равносильными, если при любых значениях аргументов они принимают равные значения. Доказать равносильность двух функций можно, построив для них таблицы соответствия.